<h3>從雞兔同籠說開去</h3><h3> “雞兔同籠問題”是我國古算書《孫子算經(jīng)》中著名的數(shù)學(xué)問題，其中蘊(yùn)含著古代數(shù)學(xué)的歸類、生活常識知識、動物習(xí)性等方面知識，通過對比，讓學(xué)生從中找出異同，舉一反三，進(jìn)一步類推到三類事物及更多的思考，古代人們生活的環(huán)境就是雞兔，現(xiàn)代人生活就遠(yuǎn)離這些，且融入新的元素，但分析問題的思路、方法是不變的，只要抓住關(guān)鍵，明確思路，問題都會迎刃而解，我們教育孩子深層次的抽象思維，不是一題一解、一題多解，而是更高層次的概括歸納，活躍思路，培養(yǎng)觀察、分析、抽象、概括、類比、格物致知的能力。下面先介紹傳統(tǒng)的解題方法：</h3><h3>問題：</h3><h3>今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何?！?amp;nbsp;</h3><h3> </h3><h3>1.列表法</h3><h3> 沒錯，就是列舉，暴力破解，也是計算機(jī)中解決問題常有的思路。當(dāng)?shù)谝唤M沒有雞有35只兔子的時候，一共有140只腳，跟94差36只腳，可以5只甚至10只的增加雞的數(shù)量，根據(jù)腳的數(shù)量再進(jìn)行微調(diào)……</h3><h3> </h3><h3>2.金雞獨立法</h3><h3> 讓每只雞和兔子都做一個動作：用一半的腳站立。那么，地上還剩94/2=47只腳，每只雞有一個腦袋一只腳，每個兔子有一個腦袋兩只腳，47比35多出來的就是兔子的數(shù)，共12只兔子，也就知道23只雞了。</h3><h3> </h3><h3>3.聽口令法</h3><h3> </h3><h3>聽口令：所有小動物抬起一只腳。地上還剩94-35=59只腳；</h3><h3>聽口令：所有小動物再抬起一只腳。地上還剩59-35=24只腳。</h3><h3>雞已經(jīng)騰空，兔子雙腳站立。于是24/2=12只兔子，雞23只。</h3><h3> </h3><h3>4.可樂雞翅法</h3><h3> 雞有2只腳，兔子有4只腳，雞比兔子少兩只，但雞有2個翅膀啊，假設(shè)把2個翅膀變成2只腳，那么雞和兔子都是4只腳了，應(yīng)該有35*4=140只腳，可實際只有94只，多出的140-94=46就是翅膀數(shù)，46/2=23只雞，也就知道12只兔子了。</h3><h3> </h3><h3> 巧妙地利用頭、腳數(shù)量之間的關(guān)系，加上各種假設(shè)和想象，能夠組合出多種不同的思路。但說來說去都是數(shù)、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。哎，這些假設(shè)又讓單純的孩子多了一層識記和煩思。</h3><h3>歸納：</h3><h3>兔數(shù)=（腿數(shù)-2*頭數(shù)）/2 </h3><h3>雞數(shù)=頭數(shù)-兔數(shù)</h3><h3>理解：假設(shè)雞兔訓(xùn)練有素 </h3><h3>吹一聲哨 所有雞兔各抬一條腿 即 一次剩余=腿數(shù)-頭數(shù)</h3><h3>再吹一聲哨 所有雞兔再各抬一條腿 雞全倒下 兔雙腿站立 </h3><h3>即 二次剩余=腿數(shù)-頭數(shù)-頭數(shù)=腿數(shù)-2*頭數(shù)</h3><h3>于是兔數(shù)=二次剩余/2=（腿數(shù)-2*頭數(shù)）/2 </h3><h3>雞數(shù)=頭數(shù)-兔數(shù)</h3><h3>對于“雞兔同籠”這種考題，常考的有這樣幾種類型的問題：</h3><h3>（1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：</h3><h3>（總腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；</h3><h3>總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。</h3><h3>或者是（每只兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；</h3><h3>總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。</h3><h3>（2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多時，可用公式</h3><h3>（每只雞腳數(shù)×總頭數(shù)-腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；</h3><h3>總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)</h3><h3>或（每只兔腳數(shù)×總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；</h3><h3>總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。</h3><h3>（3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時，可用公式。</h3><h3>（每只雞的腳數(shù)×總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；</h3><h3>總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。</h3><h3>或（每只兔的腳數(shù)×總頭數(shù)-雞兔腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)；</h3><h3>總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。</h3><h3>（4）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題），可用下面的公式：</h3><h3>〔（兩次總腳數(shù)之和）÷（每只雞兔腳數(shù)和）+（兩次總腳數(shù)之差）÷（每只雞兔腳數(shù)之差）〕÷2=雞數(shù)；</h3><h3>〔（兩次總腳數(shù)之和）÷（每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）÷（每只雞兔腳數(shù)之差）〕÷2=兔數(shù)。</h3><h3>5、方程式法</h3><h3>（1） 一元一次方程</h3><h3> 解：設(shè)兔有x只，則雞有(35-x）只。</h3><h3> 4x+2(35-x)=94</h3><h3> 4x+70-2x=94</h3><h3> 2x=94-70</h3><h3> 2x=24</h3><h3> x=24÷2</h3><h3> x=12</h3><h3> 雞：35-12=23(只）</h3><h3> 或</h3><h3> 解：設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只。</h3><h3> 2x+4(35-x)=94</h3><h3> 2x+140-4x=94</h3><h3> 2x+140-4x+4x=94+4x</h3><h3> 2x+140-2x=94+4x-2x</h3><h3> 2x=46</h3><h3> x=23</h3><h3> 兔：35-23=12(只）</h3><h3> 答：兔子有12只，雞有23只。</h3><h3> 注：通常設(shè)方程時，選擇腿的只數(shù)多的動物，會在套用到其他類似雞兔同籠的問題上，好算一些。</h3><h3>?。?） 二元一次方程</h3><h3> 解：設(shè)雞有x只，兔有y只。</h3><h3> x+y=35</h3><h3> 2x+4y=94</h3><h3> ?。▁+y=35)×2=2x+2y=70</h3><h3> (2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)</h3><h3> y=12</h3><h3> 把y=12代入（x+y=35)</h3><h3> x+12=35</h3><h3> x=35-12（只）</h3><h3> x=23（只）。</h3><h3> 答：兔子有12只，雞有23只。</h3><h3>歸納：</h3><h3>設(shè)雞x兔y </h3><h3>頭數(shù)=x+y </h3><h3>腿數(shù)=2x+4y </h3><h3>解方程求x、y</h3><h3><u>深度思考：</u></h3><h3>雞兔同籠，說明雞兔互不傷害，能夠共同生活，兔有直立的警惕性，直立后兩后腿站立。雞兔同籠問題的關(guān)鍵是雞兔的同與不同、同與不同總數(shù)問題等兩方面組成。分析時切莫誤入歧途：1、沒有見過，2、數(shù)字多、頭緒多，自己立即心里產(chǎn)生恐懼，3，時雞，時兔，混淆視聽，4、思維的單一性，5、抓不住關(guān)鍵、中心，找不準(zhǔn)差異和共同性，6、畫蛇添足，多此一舉，7、大材小用，教初中的用初中的思維來給小學(xué)生輔導(dǎo)，8、沒有回歸自然，生活，自然、生活是解決問題的根本所在；9、手忙腳亂，因步驟多，環(huán)環(huán)相扣，就出現(xiàn)環(huán)節(jié)的失誤，10、添油加醋，本來頭緒多，環(huán)節(jié)多，再加入一些不必要的環(huán)節(jié)，增加思維負(fù)擔(dān)，減負(fù)是關(guān)鍵，11、學(xué)生平時做題沒有識記知識點的習(xí)慣和多步驟銜接的鍛煉，12、隱性的對應(yīng)：一雞，一頭，兩腿，轉(zhuǎn)換；一兔、一頭，四腿，轉(zhuǎn)換。</h3><h3><u>分析</u>：</h3><h3>生活常識：一只兔有一個頭四條腿， 一只雞有一個頭兩條腿。共同的都是一頭，差異一個四條腿，一個兩條腿，拓展，多一個兔子多兩條腿（對立面，少一只兔子少兩條腿），頭和腿各自的和（知道一類，用總數(shù)減）。</h3><h3>思路：共同：頭數(shù)×2=共同腿數(shù)（有的資料假如全部是雞）；</h3><h3>1、共同：頭數(shù)×2=共同腿數(shù)（有的資料假如全部是雞）；</h3><h3>多余的腿數(shù)÷2=兔頭數(shù)=兔數(shù)，總頭數(shù)-兔頭數(shù)=雞頭數(shù)=雞數(shù)，雞頭數(shù)×2=雞腿數(shù)，兔頭數(shù)×4=兔腿數(shù)</h3><h3>2、共同：頭數(shù)×4=腿數(shù)（有的資料假如全部是兔）；</h3><h3>頭數(shù)×4—總腿數(shù)=雞的腿數(shù)，雞的腿數(shù)÷2=雞頭數(shù)=雞數(shù)</h3><h3>總頭數(shù)—雞頭數(shù)=兔頭數(shù)，兔頭數(shù)×4=兔腿數(shù)。</h3><h3>抽象：</h3><h3>1、明確自然事物的對應(yīng)關(guān)系，并熟悉事物各要素的關(guān)聯(lián)，</h3><h3>2、找準(zhǔn)共同的，明確不同的，</h3><h3>3、思考按照一方考慮，得另一方，若三者，先找共同的，求出第三者，然后求出共同兩個的一方，第三方就迎刃而解，</h3><h3>4、看清題意，切莫得意忘形，思路對不一定全局對，步步為營是最穩(wěn)妥的方法，得意忘形，往往會按傳統(tǒng)思路走，特別是重要考試，你的思維盡在命題人掌控之中，關(guān)鍵字和問題的改動是必然的，考試題似曾相識，一看就會，一作就錯的人大有人在。容易的考不到高分，是歷年考生的共性，下考場高興，分?jǐn)?shù)下來，哭幾天鼻子。 </h3><h3>類似雞兔同籠就迎刃而解了。試多析下面試題，看思路是否清晰了，其它類型的試題不妨總結(jié)一下。且聽下回分解。</h3><h3><br></h3><h3> 雞兔同籠”問題 練習(xí)題及答案</h3><h3> </h3><h3>1．雞兔同籠，共有30個頭，88只腳。求籠中雞兔各有多少只？</h3><h3>2．雞兔同籠，共有頭48個，腳132只，求雞和兔各有多少只？</h3><h3>3．一個飼養(yǎng)組一共養(yǎng)雞、兔78只，共有200只腳，求飼養(yǎng)組養(yǎng)雞和兔各多少只？</h3><h3>4．雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露。數(shù)清腳共五十雙，各有多少雞和兔？</h3><h3>5．小明用10元錢正好買了20分和50分的郵票共35張，求這兩種郵票名買了多少張？</h3><h3>6．小紅用13元6角正好買了50分和80分郵票共計20張，求兩種郵票各買了多少張？</h3><h3>7．小剛的儲蓄罐里共2分和5分硬幣70枚，小剛數(shù)了一下，一共有194分，求兩種硬幣各有多少枚？</h3><h3>8．三年一班30人共向北京奧運會捐款205元，同學(xué)每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同學(xué)各有多少人嗎？</h3><h3>9．三年二班45個同學(xué)向愛心基金會共計捐款100元，其中11個同學(xué)每人捐1元，其他同學(xué)每人捐2元或5元，求捐2元和5元的同學(xué)各有多少人？</h3><h3>10．松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采20個，雨天每天只能采12個。它一連8天共采了112個松籽，這八天有幾天晴天幾天雨天？</h3><h3>11．某校有一批同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，平均得63分，總分是3150分。其中男生平均得60分，女生平均得70分。求參加競賽的男女各有多少人？</h3><h3>12．一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得5分，做錯一題倒扣3分，劉冬考了52分，你知道劉冬做對了幾道題？</h3><h3>13．一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得8分，做錯一題倒扣4分，劉冬考了112分，你知道劉冬做對了幾道題？</h3><h3>14．52名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各幾只？</h3><h3>15．在一個停車場上，停了小轎車和摩托車一共32輛，這些車一共108個輪子。求小轎車和摩托車各有多少輛？</h3><h3>16．解放軍進(jìn)行野營拉練。晴天每天走 35千米，雨天每天走 28千米，11天一共走了 350千米。求這期間晴天共有多少天？</h3><h3>17．100個和尚吃了100個面包，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少個？</h3><h3>18．有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對。問蜻蜓有多少只？（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀）</h3><h3>19．一隊強(qiáng)盜一隊狗，二隊拼作一隊走，數(shù)頭一共三百六，數(shù)腿一共八百九，問有多少強(qiáng)盜多少狗？</h3><h3>答案</h3><h3>1．雞：16只，兔：14只</h3><h3>2．雞：30只，兔：18只</h3><h3>3．雞：56只，兔：22只</h3><h3>4．雞：22只，兔：14只</h3><h3>5．20分的郵票25張，50分的郵票10張。</h3><h3>6．50分的郵票8張，80分郵票12張。</h3><h3>7．2分硬幣52枚，5分硬幣18枚。</h3><h3>8．捐了5元的同學(xué)有19人，捐10元的有11人。</h3><h3>9．捐2元的有27人，捐5元的有7人。</h3><h3>10．晴天2天，雨天6天。</h3><h3>11．求參加競賽的女生15人，男生35人。</h3><h3>12．劉冬做對14道題。</h3><h3>13．劉冬做對16道題。</h3><h3>14．大船4只，小船7只。</h3><h3>15．小轎車22輛，摩托車10輛。</h3><h3>16．晴天共有6天。</h3><h3>17．大和尚有25個，小和尚有75個。</h3><h3>18．蜘蛛5只；蜻蜓7只；蟬6只。</h3><h3>19．強(qiáng)盜275人，狗85只。</h3><h3><br></h3>