[雙腰共點]正在呼叫（文48）微風(fēng) <h1><span style="color: rgb(22, 126, 251);">一、盤活“雙腰共點”型的深層知識</span></h1><p class="ql-block"> 兩個相似等腰三角形（特別是兩個等腰直角三角形或者兩個等邊三角形）共頂角或底角頂點的情景，簡稱為“雙腰共點”型態(tài)。它呼叫全等（或相似）三角形去變換線、角.</p><p class="ql-block"> <span style="color: rgb(237, 35, 8);">以兩個等腰直角三角形共頂角頂點為例</span><span style="color: rgb(22, 126, 251);">（可視為一個等腰直角△ABC固定，另一個等腰直角△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)）</span><span style="color: rgb(237, 35, 8);">，盤活“雙腰共點，等角伴線”型的呼叫:</span></p><p class="ql-block">呼語①：<span style="color: rgb(57, 181, 74);">共點等角生等角.</span></p><p class="ql-block"> ∠BAD=∠CAE=90°-∠DAC，</p><p class="ql-block">呼語②：<span style="color: rgb(57, 181, 74);">兩組等線利用好.</span></p><p class="ql-block"> AB=AC，AD=AE.</p> <h3><font color="#ed2308">連接BD、CE后，呼叫密語是：</font></h3><h3>呼語③：<font color="#39b54a">兩個旋轉(zhuǎn)靠腰三角形全等.</font></h3><h3> 即△ABD≌△ACE</h3><h3>呼語④：<font color="#39b54a">兩條拉手直線BD、CE的一個交角等于等腰三角形頂角.</font></h3><h3>此圖是∠BFC=∠BAD=90°.</h3><h3>呼語⑤：<font color="#39b54a">將靠腰三角形的線、角變換.</font></h3><h3> BD=CE，</h3><h3> ∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，</h3><h3> </h3><h3> <font color="#ed2308">僅有一個靠腰三角形時的呼叫密碼是： </font></h3><h3> 將一個靠腰三角形旋轉(zhuǎn)為依靠另一腰的靠腰三角形，讓變換等線、等角的旋轉(zhuǎn)全等三角形降臨.</h3><h3> 即構(gòu)造變線、變角的旋轉(zhuǎn)全等三角形△ABD≌△ACE.</h3><h3> 這時，一個相似的等腰三角形（△ADE）也降臨.</h3> <h3> 上圖所示的旋轉(zhuǎn)靠腰三角形，或再作同形共頂角點的等腰三角形思維意境，應(yīng)該豐滿.</h3><h3> <font color="#39b54a">類似地，如下圖所示，當(dāng)兩個等腰直角三角形</font><font color="#ed2308">共底角頂點</font><font color="#39b54a">時，連接AD、CE后，也有類似的呼叫密語. 只不過旋轉(zhuǎn)全等三角形變成為旋轉(zhuǎn)相似三角形.</font></h3><h3><font color="#39b54a">即呼語是：△BAD∽△BCE，</font></h3><h3><font color="#39b54a"> 且相似比=腰:底.</font></h3> <h3><br></h3><h1> <font color="#ed2308"> 同樣地</font>，<font color="#b04fbb">任意兩個等邊三角形頂點共點，呼叫兩個旋轉(zhuǎn)的全等靠腰三角形，同樣可盤活線、角的變換.</font></h1> <h1><font color="#167efb"> 二、盤活“雙腰共點”的思意</font></h1><h3> <font color="#39b54a"> 完整“雙腰共點”型態(tài)，是常用的添線道術(shù).</font></h3><h3><font color="#ed2308"> 呼叫靠腰三角形旋轉(zhuǎn)，是盤活線角的良策.</font></h3> <h3>1、（2009?鐵嶺）△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE． </h3><h3>（1）如圖（a）所示，當(dāng)點D在線段BC上時．</h3><h3> ①求證：△AEB≌△ADC； </h3><h3>②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理</h3><h3>（2）如圖（b）所示，當(dāng)點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否成立； </h3><h3>（3）在（2）的情況下，當(dāng)點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．</h3> <h3>觀察思考</h3><h3><font color="#167efb">問題（1）①</font>：</h3><h3> 盤活“雙等邊共點A”型態(tài)，聽從兩個旋轉(zhuǎn)靠腰三角形的全等呼叫.即</h3> <h3><br></h3><h3><font color="#167efb">問題（1）②</font>：</h3><h3> <font color="#ed2308">旋轉(zhuǎn)的靠腰全等三角形在呼叫角變換.</font></h3><h3>由△ABE≌△ACD得，</h3><h3>∠ABE=∠C=60°，</h3><h3>又在等邊△ABC中，∠BAC=60°，</h3><h3>所以，∠ABE=∠ABE，</h3><h3>∴BE∥CG，</h3><h3>又∵EG∥BC，</h3><h3>四邊形BCGE是平行四邊形.</h3> <h3><font color="#167efb">問題（2）：</font></h3><h3> （1）中的兩個結(jié)論仍然成立.</h3><h3> 同理①，盤活“雙等邊共點A”型態(tài)，呼叫兩個旋轉(zhuǎn)全等靠腰三角形變角.</h3> <h3><font color="#167efb">問題（3）：</font></h3><h3> 當(dāng)CD=CB（或BD=2CD或∠CAD=30°或∠ADC=30°或∠BAD=90°）時，四邊形BCGE是菱形.</h3><h3>理由如下：</h3><h1><font color="#ed2308">意境1：靠腰全等三角形呼叫定線段.</font></h1><h3>由①△ABE≌△ACD.</h3><h3>∴BE=CD，</h3><h3>當(dāng)四邊形BCGE是菱形時，BE=CB，</h3><h3>所以，CD=CB.(也即BD=2CD)</h3><h3><br></h3><h1><font color="#ed2308">意境2：靠腰全等三角形呼叫定角.</font></h1> <h3><br></h3><h3>2、如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=6，CE=2√2 ，點F在CD上，連接DE，連接BG并延長交CD于點M，交DE于點H．則BH的長度為_______．</h3> <h3>觀察思考</h3><h3> 正方形ABCD與正方形CEFG共點于C，可視為等腰直角△CBD與等腰直角△CEG共點于C.則盤活“雙腰共點，等角伴等線”型，呼叫旋轉(zhuǎn)的全等靠腰三角形去變線、變角，產(chǎn)生垂線.即</h3> <h1><font color="#167efb">計算意境1：</font></h1> <h1><font color="#167efb">計算意境2：</font></h1> <h1><font color="#167efb">計算意境3：</font></h1> <h3><br></h3><h3>反思：</h3><h3>1、擁有“雙腰共點，等角伴等線”型的深層知識，就能聽見BH⊥DE于H的呼叫；</h3><h3>2、從直角（∠DHM=90°）出發(fā)，利用勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形去計算線段，是必備的計算基本功；</h3><h3>3、遇見直角邊之比為1:2的特殊直角三角形，應(yīng)立即想到三邊之比為1:2:√5 .</h3> <h3><br></h3><h3>3、如圖，正方形ABCD和正方形DEFG．連接AE，AG，若∠GAE+∠DAE=45°.</h3><h3>求證：AG=√2AB．</h3> <h3>觀察思考</h3><h3> 正方形ABCD與正方形DEFG共點于D，可視為等腰直角△DAC與等腰直角△DEG共點于D.則呼叫兩個旋轉(zhuǎn)的全等靠腰三角形去變線、變角，產(chǎn)生垂線.即</h3> <h3>則求證AG=√2AB轉(zhuǎn)化為求證AC=AG.</h3><h3>即需求證△ACG是等腰三角形.</h3><h1><font color="#167efb">思維意境1：</font></h1><h1><font color="#167efb"></font><font color="#167efb"> 求證ΔCAG的兩個角相等</font>.</h1> <h1> 因為∠GAE+∠DAE=45°，<br></h1><h3>∠CAO=∠CAD-∠DAE=45°-∠DAE，</h3><h3>∴∠GAC=∠GAE+∠CAO</h3><h3> =(45°-∠DAE)+ (45°-∠DAE)</h3><h3> =90°-2∠DAE，</h3><h3>又∠ACG=45°+∠DCG</h3><h3> =45°+∠DAE，</h3><h3>在△ACG中，</h3><h3>∠AGC=180°-∠ACG-∠GAC </h3><h3> =180°-（90°-2∠DAE）-（45°+∠DAE） </h3><h3> =45°+∠DAE，</h3><h3> =45°+∠DCG，</h3><h3>∴∠AGC=∠ACG，</h3><h3>所以，AG=AC，∴AG=√2AB.</h3><h3><br></h3><h1><font color="#167efb">思維意境2：</font></h1><h1><font color="#167efb"></font><font color="#39b54a"> 先求證AO平分∠CAG，</font><font color="#39b54a">再證兩三角形全等.</font></h1> <h3>4、如圖，⊙O的半徑為4√2 ，點B是圓上一動點，點A為⊙O內(nèi)一定點，OA=4，將AB繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)120°到AC，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于E，則OE的最大值為_______ ．</h3> <p class="ql-block"> 解析此單動端點線段最值試題，僅熟知顯性的定理、性質(zhì)知識，僅刷題而不深悟隱性的思維性知識，會在問題情景和思維意境上產(chǎn)生難受感，兩個基本的答題通道大門，就不會自然打開.</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color: rgb(22, 126, 251);">情景分析：</span></p><p class="ql-block">1、最值線段OE的端點O是定點，端點E是動點；</p><p class="ql-block">2、△ABC是頂角∠BAC=120°的等腰三角形；</p><p class="ql-block">3、兩條已知線段OB=4√2 ，OA=4是靠腰△ABO的兩邊；</p><p class="ql-block">4、點E是平行四邊形ABCD對角線的交點，則E是腰線AC的中點.</p><p class="ql-block"><span style="color: rgb(237, 35, 8);">思維意境一</span>：</p><p class="ql-block"><span style="color: rgb(57, 181, 74);"> 確定動點E的軌跡.</span></p><p class="ql-block"><span style="color: rgb(176, 79, 187);"> 呼叫靠腰△ABO旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造“雙腰共點”模型盤活已知線段.</span></p><p class="ql-block">1、如圖，作等腰ΔAOF，使得AF=AO，∠OAF=120°，連接CF，則由構(gòu)造的“雙腰共點”模型得ΔAFC≌ΔAOB（SAS），∴FC=OB=4√2；</p> <h3>2、取AF的中點G，連接EG，則EG是ΔACF的中位線，∴GE=?CF=2√2，</h3><h3><font color="#39b54a">∴動線段OE的動端點E的運動軌跡是以G為圓心，半徑為定長2√2的圓.</font></h3><h3> <font color="#167efb"> 則問題轉(zhuǎn)化為求定⊙G外一點O，到⊙G上動點E的最大值OE.</font></h3><h3><font color="#167efb"> 顯然，O、G、E共線時，OE最大.則需計算OG.</font></h3> <h3><font color="#167efb">3、計算意境：解斜ΔAOG</font>.</h3><h3><font color="#010101"> 作GH⊥OA的延長于G，</font></h3><h3><font color="#010101">在直角ΔHAG中，∵∠HAG=60°，AG=2，</font></h3><h3><font color="#010101">∴AH=1，GH=√3，</font></h3><h3><font color="#010101">∴OH=OA+AH=4+1=5，</font></h3><h3><font color="#010101">在直角ΔHOG中，OG2=OH2+GH2</font></h3><h3><font color="#010101"> =52+（√3）2=28，</font></h3><h3><font color="#010101">∴OG=2√7，</font></h3><h3><font color="#010101">∴OE的最大值=OG+GE=2√7+2√2.</font></h3> <h3><font color="#ed2308">思維意境二：先變線最值線段OE，再呼叫“雙腰共點”模型.</font></h3> <h3> 問題轉(zhuǎn)化為求靠腰△ACF中線段CF的最大值.則呼叫眼睛喜歡的“雙腰共點”模型.</h3> <h3> 如圖，作AG=AF=8，∠FAG=120°，連接BG，則由構(gòu)造的“雙腰共點”模型得ΔAFC≌ΔAGB（SAS），</h3><h3>∴GB=CF.</h3><h3> 則求出定點G到定圓O上動點B的距離最大值得解。</h3><h3><font color="#167efb">計算意境：解斜ΔAOG</font>.</h3><h3> 作GH⊥OA的延長于G，</h3><h3> 在直角ΔHAG中，∵∠HAG=60°，AG=8，</h3><h3>∴AH=4，GH=4√3，</h3><h3>∴OH=OA+AH=4+4=8，</h3><h3>在直角ΔHOG中，OG2=OH2+GH2</h3><h3> =82+（4√3）2=112，</h3><h3>∴OG=4√7 ，</h3><h3>∴GB的最大值=OG+GE</h3><h3> =4√7+4√2 .</h3><h3>∴OE的最大值=?CF=?GB</h3><h3> =2√7 +2√2 .</h3> <h3><br></h3><h3>5、如圖，等邊△ABC中，點D在邊AB上，E在CB的延長線上，已知CD=ED，M是CD中點，AM=2√2 ，求AE的長．</h3> <h3>觀察思考：</h3><h3> AE的長度必然與已知線段AM的長度密切相關(guān).且由直覺思維猜想AE=2AM.則加倍AM，構(gòu)造平行四邊形后，證兩個靠腰三角形全等.</h3> <h3> 由平行四邊形得DG//AC，</h3><h3>又ΔABC是等邊三角形，</h3><h3>∴ΔBDG是等邊三角形；AD=CG=CF.</h3><h3>∴DB=DG，<font color="#39b54a">∠DBE=∠DGC=120°，</font></h3><h3>又DE=DC，∠DEB=∠DCG，</h3><h3>∴ΔDEB≌ΔDCG（AAS），</h3><h3>∴<font color="#ed2308">EB</font>=CG<font color="#ed2308">=CF</font>，</h3><h3>又<font color="#ed2308">∠ACF=∠ABE=120°，AB=AC，</font></h3><h3><font color="#39b54a">∴兩個靠腰三角形全等.</font></h3><h3>即ΔABE≌ΔACF（SAS），<font color="#ed2308"><br></font></h3><h3>∴AE=AF=2AM=4√2.</h3><h3><br></h3> <h3>6、等邊△ABC所在平面內(nèi)有一點D，BD=2，CD=4，且∠BDC=120°，射線BD交直線AC于點E，則AE=________．<br></h3><h1><font color="#167efb">觀察思考：</font></h1><h3>1、面對無圖題的條件<font color="#39b54a">“等邊△ABC所在平面內(nèi)有一點D”</font>，<font color="#ed2308">想到點D在△ABC內(nèi)或在△ABC外.</font></h3> <h3>2、待求線段AE=AC+CE.則需求出等邊ΔABC的邊長和線段CE的長.</h3><h3>3、已知靠腰ΔBCD的兩邊BD=2，CD=4和夾角∠BDC=120°.則首先從120°的角出發(fā)去思考.</h3><h3>討論：</h3><h1><font color="#ed2308">一、當(dāng)點D在ΔABC外部時.</font></h1><h3>（1）∵∠BCE=∠BDC=120°，∠CBE公用，</h3><h3>則有“子母相似三角形”，</h3><h3>即ΔBCD∽ΔBEC，</h3><h3>∴<font color="#167efb">CE/CD=BC/BD，①</font></h3><h3>則求出等邊ΔABC的邊長BC得解.</h3><h3>（2）注意到靠腰ΔBDC中的120°角與等邊三角形的底角（60°）之和為180°，則靠腰ΔBDC旋轉(zhuǎn)60°后，可得到平角，即可得到2+4=6的三點共線的線段AD.所以，可呼叫“雙腰共點型”盤活已知線、角.</h3> <h3><font color="#167efb" style="font-size: 20px;">思維意境</font><span style="font-size: 20px; color: rgb(1, 1, 1);">：</span></h3><h3><span style="color: rgb(1, 1, 1);"> 如圖1，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BF，</span>連接DF、AF，DF與BC交于點G，</h3><h3><font color="#39b54a">（</font><font color="#39b54a">即將已知兩邊夾角的靠腰ΔBDC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°）</font></h3><h3>則ΔBDF是邊長為2的等邊三角形，</h3><h3>則由構(gòu)造的“雙腰共點模型得</h3><h3><font color="#ed2308">BF=BD，</font></h3><h3><font color="#ed2308"></font><font color="#ed2308">∠FBA=∠DBC</font><span style="color: rgb(237, 35, 8);">=60°-∠CBF，</span></h3><h3><font color="#ed2308">BA=BC，</font></h3><h3><font color="#167efb">∴ΔBAF≌ΔBCD（SAS），</font></h3><h3>∴AF=CD=4，∠BFA=∠BDC=120°，</h3><h3>∵∠AFB+∠BFD=120°+60°=180°，</h3><h3>∴<font color="#167efb">A、F、D三點共線，</font></h3><h3>∴AD=AF+DF=4+2=6，</h3><h3>又∠ABG=∠BDG=60°，∠BAD公用，</h3><h3><span style="color: rgb(22, 126, 251);">則有“子母相似三角形”，</span></h3><h3><span style="color: rgb(22, 126, 251);">即ΔBAG∽ΔDAB，</span></h3><h3>∴<font color="#ed2308">AB2=AD·AG=6AG，②</font><font color="#b04fbb"></font></h3><h3>因為<font color="#39b54a">AG=AF+FG=4+FG，③</font></h3><h3>則需求FG的長.</h3><h3>∵∠CDF=120°-60°=60°=∠BFD，</h3><h3>∴<font color="#167efb">ΔBGF∽ΔCGD</font></h3><h3>∴<font color="#ed2308">FG/DG</font>=BF/CD=2/4=1/2，</h3><h3>又DF=FG+DG=2，</h3><h3>∴FG=1/3·DF=2/3，</h3><h3>所以，<font color="#39b54a">由③得</font>，AG==4+2/3=14/3，</h3><h3>∴<font color="#ed2308">由②得</font>，∴AB2=6AG=28，</h3><h3>∴AB=2√7=AC=BC，</h3><h3>又CE/<font color="#b04fbb">CD</font>=<font color="#39b54a">BC</font>/<font color="#b04fbb">BD</font>，①<br></h3><h3>∴CE/4=2√7/2，</h3><h3>∴CE=4√7，</h3><h3>所以，AE=AC+CE=2√7+4√7=6√7.</h3><h3><br></h3><h3>反思：利用靠腰三角形的邊、角，呼叫“雙腰共點模型”轉(zhuǎn)換線、角，以及從等角出發(fā)，敏銳地發(fā)現(xiàn)“子母相似模型”，才能提刀跨馬順勢而動.</h3><h3><br></h3><h1><font color="#ed2308">二、當(dāng)點D在ΔABC內(nèi)部時.</font></h1><h3><span style="color: rgb(1, 1, 1);"></span></h3> <h3>如圖2，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BF，連接DF、AF，</h3><h3><font color="#39b54a">（即靠腰ΔBDC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°）</font></h3><h3>則ΔBDF是邊長為2的等邊三角形，</h3><h3>則由構(gòu)造的“雙腰共點模型得</h3><h3><font color="#ed2308"> BF=BD</font></h3><h3><font color="#ed2308">∠ABF=∠CBD=60°-∠DBA</font></h3><h3><font color="#ed2308"> BA=BC</font></h3><h3>∴ΔBAF≌ΔBCD（SAS），</h3><h3>∴AF=CD=4，∠BFA=∠BDC=120°，</h3><h3>∵∠BDC+∠BDF=120°+60°=180°，</h3><h3>∴<font color="#167efb">C、D、F三點共線，</font></h3><h3>∴<font color="#167efb">CF=CD+DF=4+2=6，</font></h3><h3>因為∠AFD=∠BFA-∠BFD</h3><h3> =120°-60°=60°=∠BDF，</h3><h3>∴<font color="#167efb">DE//AF，∴ΔCDE∽ΔCFA，</font></h3><h3>∴DE/AF=CD/CF，即DE/4=4/6，</h3><h3>∴DE=8/3，</h3><h3>BE=BD+DE=2+8/3=14/3.</h3><h3>又因為∠EDC=∠ECB，∠BEC公用，</h3><h3>∴<font color="#167efb">有“子母相似型”，即ΔEDC∽ΔECB，</font></h3><h3><font color="#ed2308">∴CE2=DE.BE=8/3×14/3=112/9，</font></h3><h3>∴<font color="#ed2308">CE=4√7/3，</font></h3><h3><font color="#39b54a">因為DE//AF，</font></h3><h3><font color="#39b54a">∴AE/CE=DF/CD，</font></h3><h3><font color="#39b54a">即AE:4√7/3=2/4，</font></h3><h3><font color="#39b54a">∴AE=2√7/3.</font></h3><h3><font color="#010101">綜上所述，AE的長為6√7或2√7/3.</font></h3> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">7、如圖，四邊形ABCD中，AD=4，CD=2， ∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長.</p> <h3><font color="#167efb">圖形情景特點：</font></h3><h3> 由條件∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°知，ΔABC是等腰直角三角形.所以背景圖有三大特點：</h3><h1><font color="#ed2308">1、待求線段BD是</font>依靠著腰AB的<font color="#ed2308">靠腰三角形的邊.</font></h1><h3></h3><h1><font color="#39b54a">2、已知兩邊夾角的ΔACD是依靠著另一腰AC的靠腰三角形.</font></h1><h1><font color="#b04fbb">3、已知角（∠ADC=45°）與等腰ΔABC的底角之和，可構(gòu)成90°的直角.</font></h1><h1><font color="#167efb">思維意境：旋轉(zhuǎn)靠腰三角形，呼叫“雙腰共頂點模型”.</font></h1><h1><font color="#ed2308">解法一：旋轉(zhuǎn)已知兩邊夾角的靠腰△ACD轉(zhuǎn)移線、角.</font></h1><h3> 將△ACD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE.</h3><h3>則∠AEB=∠ADC=45°，BE=CD=2.</h3><h3></h3> <h3>連接DE，則△ADE是等腰直角三角形.</h3><h3>∴DE=√2AD=4√2，</h3><h3>∠AED=45°，</h3><h3>∴∠DEB=∠AED+∠AEB=45°+45°=90°，</h3><h3>在Rt△EBD中，</h3><h3>BD2=DE2+BE2=22+（4√2）2=36，</h3><h3>所以，BD=6.</h3> <h1><font color="#ed2308">解法二：旋轉(zhuǎn)待求線段BD所在的靠腰△ABD轉(zhuǎn)移線段.</font></h1><h3></h3><h3> 將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE.</h3><h3>則ΔACE≌ΔABD，</h3><h3>∴CE=BD，AE=AD=4.</h3><h3></h3> <h3>連接DE，則△ADE是等腰直角三角形.</h3><h3>∴DE=√2AD=4√2，</h3><h3>∠ADE=45°，</h3><h3>∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=45°+45°=90°，</h3><h3>∴在Rt△DEC中，</h3><h3>CE2=CD2+DE2=22+（4√2）2=36，</h3><h3>∴CE=6，</h3><h3>∴BD=6.</h3> <h3><br></h3><h3>8、如圖，在ΔABC中，∠ABC = 60°，</h3><h3>AB = 2√3，BC = 8，以AC為腰，點A為頂點作等腰ΔACD且∠DAC=120° .求BD的長.</h3> <h3>三大情景特點：</h3><h3> 因為 ΔADC是等腰三角形.所以背景圖有三大特點：<br></h3><h1><font color="#ed2308">1、待求線段BD是依靠著腰AD的靠腰三角形的邊.</font></h1><h1><font color="#39b54a">2、已知兩邊夾角的ΔABC是依靠著另一腰AC的靠腰三角形.</font></h1><h1><font color="#b04fbb">3、已知角（∠ABC=60°）與等腰ΔADC的底角（30°）之和，可構(gòu)成90°的直角.</font></h1><h3><br></h3><h1><font color="#167efb">思維意境：旋轉(zhuǎn)靠腰三角形，呼叫“雙腰共頂點模型”.</font></h1><h1><font color="#ed2308">解法一：旋轉(zhuǎn)已知兩邊夾角的靠腰</font></h1><h1><font color="#ed2308">△ABC轉(zhuǎn)移線、角.</font></h1><h3> 將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△AED.<br></h3><h3>則∠AED=∠ABC=60°，DE=BC=8，AE=AB，</h3><h3>∴ΔABE是頂角等于120°的等腰三角形，</h3><h3>∴BE=√3AB=√3×2√3=6.</h3> <h3>∴∠DEB=∠AED+∠AEB</h3><h3> =60°+30°=90°，</h3><h3>在Rt△EBD中，</h3><h3>BD2=DE2+BE2=82+62=100，</h3><h3>所以，BD=10.</h3> <h1><font color="#ed2308">解法二：旋轉(zhuǎn)待求線段BD所在的靠腰△ABD轉(zhuǎn)移線段.</font></h1><h3> 將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△AECE·</h3><h3>則ΔACE≌ΔABD，</h3><h3>∴CE=BD，AE=AB=2√3</h3><h3>∴ΔABE是頂角為120°的等腰三角形，</h3><h3>∴∠ABE=30°，BE=√3AB=√3×2√3=6，</h3> <h3>∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=60°+30°=90°，</h3><h3>在Rt△BCE中，</h3><h3>CE2=BC2+BE2=82+62=100，</h3><h3>所以，CE=10，</h3><h3>∴BD=10.</h3>