<b><font color="#ff8a00">3.小工具 大作用<br>——“四向表”及其在小組合作中的使用</font></b><br><br>在數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐中，“形成關(guān)系性的理解”和“基于理解展開真實有效的學(xué)習(xí)溝通”是本實踐的兩大核心。數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)目的是為了幫助學(xué)生更好地實現(xiàn)垂直數(shù)學(xué)化和水平數(shù)學(xué)化。同時，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時，在表達、傾聽、溝通、悅納、合作等方面獲得未來人才基本素養(yǎng)的發(fā)展。<br><br>兩大核心落實在教學(xué)中，轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為時，我們研制使用了一些小工具，最終形成了一套互為作用的“數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具”。這些小工具本身帶有一定的結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)具有指引的作用，能夠促使學(xué)生深化數(shù)學(xué)理解和圍繞數(shù)學(xué)展開溝通。本文就四向表及其使用，特別是小組合作時的使用進行介紹。<br><br>四向表的結(jié)構(gòu)<br><br>數(shù)學(xué)的問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，是一種高級的智力活動，從問題的產(chǎn)生到問題的解決都伴隨復(fù)雜的心智過程。眾多學(xué)者投入其中開展了大量的研究。在問題解決研究中的標志性人物波利亞（1887-1985年）于《怎樣解題》一書中（Polya，1945）中提出了解決問題的四個步驟（表1）。 數(shù)學(xué)家匈菲爾德在波利亞的基礎(chǔ)上將解題分為六個階段，分別是讀題、分析、探索、計劃、執(zhí)行和驗證。在分析階段，匈菲爾德特別強調(diào)用簡要的形式表述問題，在可能的情況下畫圖分析，并對問題進行表述。<br><br>對比各項研究，“找到解決問題的信息”、“利用一定的方法展開分析”、“在分析的基礎(chǔ)上實現(xiàn)問題解決”和“回顧檢驗解決問題的策略和結(jié)果”是眾多研究成果的共性。<br><br>《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中“問題解決”是總目標的重要組成部分，它的具體要求與上述研究成果類同，但《課標》還明確提出了“在問題解決的過程中要學(xué)會與他人合作”。<br><br>在學(xué)生逐漸掌握閱讀方法，如“信息分組”、“畫圖分析”、“雙色筆記法”的同時，我們使用四向表幫助學(xué)生完整地經(jīng)歷“解題”的全過程。取名四向表的寓意和寄望為：“四”為問題解決中的四個關(guān)鍵步驟；“向”代表“向度”，即能夠從多角度、多層次去分析、判斷、評價和確定某個對象，能夠走出固定的邊界，從不同向度的普遍聯(lián)系去觀察事物或問題，能夠理解別人思考問題的角度。四向表如下。 問題Q為明確問題，A為相關(guān)信息，B為思考過程，C為執(zhí)行解決，D為反思回顧。ABCD就是四個解題步驟。在解決下題時，學(xué)生甲和學(xué)生乙的表現(xiàn)如下。 可以看到，在解決同一道題的過程中，學(xué)生的思考過程是不一樣的，這種不同可能從一開始的信息分組就不同，很明顯在學(xué)生B的思考里“比較”是一條主線，所以他會把“36、12、400”歸為第一組信息，800歸為第二組信息，并且用“√”、“×”的方式顯示出自己對信息篩選的結(jié)果——第一組信息是解決問題時需要用到的信息，而800對于這個問題的解決則無關(guān)。同時，我們也可以看到學(xué)生的問題表征和反思回顧是不一樣的，其中表征忠實地記錄了學(xué)生探索的過程，記錄了他們將題目歸入自己的知識系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化的過程。<br><br>當學(xué)生交流討論時，這些不同將成為可以比較的、最真實的、豐富的素材。素材之間“同”與“異”的聯(lián)結(jié)帶有很強的啟發(fā)性，有助于學(xué)生看清問題的結(jié)構(gòu)，從而更好地理解問題及其相關(guān)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特質(zhì)。 <b><font color="#167efb">四向表在小組合作時的使用</font></b><br><br>四向表即可以獨立使用，也可以在小組合作時使用。現(xiàn)介紹小組合作的具體使用方法：<br><br>1. 角色確定。以小組為單位，學(xué)生任意選擇“紅、黃、藍、綠”中的一個顏色代表自己。學(xué)生選擇好了以后，將代表自己的顏色，標示在數(shù)學(xué)書上，方便教師在后續(xù)的教學(xué)中能夠?qū)?yīng)到人。學(xué)生選擇了什么顏色，在小組合作的過程中就使用什么顏色的便利貼。<br><br>2. 任務(wù)分工。在教學(xué)時，教師通過顏色來讓學(xué)生明確自己的任務(wù)。顏色在哪一個版塊，對應(yīng)的學(xué)生就負責(zé)這一版塊的匯報、交流和選擇，合議達成共識以后，就將該生的便利貼貼在相應(yīng)的位置，形成合議結(jié)果。到了下一節(jié)課，教師可以通過顏色的隨機調(diào)換，改變學(xué)生承擔(dān)的任務(wù)（圖1、圖2）。這樣的操作即方便教師，也方便學(xué)生，任務(wù)簡潔明了，真正落實到具體的人，學(xué)生也能一目了然地知道自己的任務(wù)。 3. 溝通合議。一般在交流前，每個人都需要獨立完成自己的四向表，獨立完成可以是課上進行，也可以是課中進行。合議時，每個人都拿著自己的四向表進行分享，并由相應(yīng)版塊的負責(zé)人組織，一般流程如下：<br> （1）下面我（版塊負責(zé)人）來說一說信息分組（或思考過程等），我是這樣想的……<br>（2）大家有什么補充？請不一樣的同學(xué)發(fā)言。<br>（3）大家是否同意剛才的補充？有什么別的建議或想法嗎？<br>（4）請訂正……請選擇……<br><br>對應(yīng)圖1來看圖3，圖3是小組合作交流后呈現(xiàn)出來的結(jié)果。從不同顏色的便簽條可以看出小組內(nèi)每個人在這次交流中做出的貢獻，也可以看到有效的溝通在發(fā)生。 很明顯，版塊A（相關(guān)信息）和版塊C（執(zhí)行解決），小組成員的做法是一樣的，所以便利貼的顏色是紅色和藍色，即采用了版塊A和版塊C負責(zé)人的做法。版塊B（思考過程）和版塊D（反思回顧）則有不同，小組成員之間有補充和完善，下面以顏色代表相應(yīng)的學(xué)生，課堂實錄如下：<br><br>版塊B：<br>黃（負責(zé)人）：下面我來說一說思考的過程，118可以分成1個百，1個十和8。我可以先算7個100，再算7個10，最后算7個8。得到700,70和56。把它們加起來就是7節(jié)硬座可以坐的人數(shù)了。我還畫了個圖，你們看，都是7份。<br>黃：我說完了，大家有什么補充？<br>綠：我同意，我和你寫得差不多。<br>黃：我喜歡你寫的分成，這樣可以看見118分成了誰。<br>紅：我寫了樹狀圖，這一題就是求總的人數(shù)，每節(jié)118人是每份數(shù)，7節(jié)是份數(shù)，所以要乘起來。但是118乘18怎么乘呢？我和你們一樣，都是拆開來算。不過我覺得可以把700留著，因為700后面沒有數(shù)，126+700好算！<br>黃：大家是否同意剛才的補充？有什么別的建議或想法嗎？<br>黃：看看自己的，有問題的修改一下，請某某某（紅）把你的便利貼貼好。<br>版塊D：<br>綠（負責(zé)人）：我來說一說這道題需要注意的地方，我覺得有3點：1.做好信息分組；2.別抄錯數(shù)字；3.需要第二組信息，不是第一組信息。<br>綠：我說完了，大家有什么補充？<br>藍：我覺得這一題信息有2組，解決問題的時候只用一組，注意這個就好了。<br>黃：我覺得加上來的數(shù)蠻容易忘記的，所以需要注意一下。<br>紅：你看，我們后面就是分別去乘的。所以我覺得要知道用第2個數(shù)分別去乘，而且滿了多少，就要往前面進幾。滿幾十就進幾。<br>綠：那我用上面的數(shù)來乘下面的數(shù)可不可以呢？<br>紅：我覺得不可以，這怎么乘？<br>藍：可以。7乘8和8乘7是一樣的。<br>黃：我也覺得不行，乘法豎式?jīng)]有反過來乘的。<br>綠：那我們把這個問題放“問題庫”，同意剛才的補充嗎？我們來選要點吧。<br>便利貼上的√就是學(xué)生交流后對自己思考過程的判斷。如果有錯，則參考別人的進行修改。小組交流產(chǎn)生的新問題，會放在問題庫里一起解決。關(guān)于問題庫，在上一篇文章中有提及。此處略。<br><br>4.反饋匯報。小組合作后要上臺反饋，小組成員會根據(jù)自己負責(zé)的版塊，再結(jié)合合議的情況，輪流進行匯報。<br><br>如果教師出示的要求中將其中一個顏色變大，則表明該同學(xué)負責(zé)全過程的主講，在該同學(xué)講完后，再由別的同學(xué)補充。教師也可以根據(jù)班級同學(xué)的情況隨機改換主講人。圖4主講人是綠色，圖5主講人是紅色。其余同學(xué)除了傾聽主講人的發(fā)言以外，需要在“補充”的時候，重點負責(zé)自己所在的版塊，對該版塊做出自己的貢獻——組織成員拿出自己的便利貼，做好對比，找到與主講人“同”或“異”的地方。反饋時，則由主講人反饋，其余成員補充。 四向表是小工具，它結(jié)構(gòu)簡單，制作成本低，容易上手和普及。使用四向表可以較好的幫助學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，也可以較好地促進學(xué)生在小組內(nèi)的有效交流和溝通。在此過程中，也比較容易產(chǎn)生新的問題，舊問題的解決伴隨新問題的產(chǎn)生，認知的寬度和深度就打開了。