《種子課2.0——如何教對數(shù)學(xué)課》（俞正強(qiáng) 著）書摘

雪歌

??學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時往往要經(jīng)過幾個坎：從正數(shù)到負(fù)數(shù)，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從算術(shù)到代數(shù)，從單維空間到多維空間。老師把握好這幾個節(jié)點(diǎn)，幫助學(xué)生順利地通過這幾個坎，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就不會遇到更多的困難，就能順利地進(jìn)行。 ??但是有些老師卻不是從培養(yǎng)學(xué)生的思維出發(fā)，而是強(qiáng)調(diào)掌握數(shù)學(xué)知識和做練習(xí)題。特別是在應(yīng)試教育中，甚至提出數(shù)學(xué)題要“一看就會，一做就對”，似乎想把天下的試題都讓學(xué)生做一遍，以應(yīng)對考試。這不僅增加了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且把學(xué)生變成做題的機(jī)器，完全不符合數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，違背了數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律。因此，推進(jìn)素質(zhì)教育，數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)還原它的本質(zhì)，教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會練什么，更重要的是要讓學(xué)生知道為什么，也就是要把數(shù)學(xué)的重要節(jié)點(diǎn)、數(shù)學(xué)的邏輯教給學(xué)生。 ??我們的數(shù)學(xué)課，首先要教對。學(xué)生的許多不良學(xué)習(xí)狀況的出現(xiàn)都是因?yàn)槲覀儧]有教對，即錯的教一定生出更多錯的學(xué)，而我們老師卻不知道自己沒有教對。 ??對方程，主要認(rèn)識兩個點(diǎn)：一個認(rèn)識點(diǎn)是什么是未知數(shù)，這個點(diǎn)在“用字母表示數(shù)”中解決；另一個認(rèn)識點(diǎn)是什么是等式，這個點(diǎn)應(yīng)該在“認(rèn)識方程”中解決。 ??等式須有一個等量，等式所表示的關(guān)系我們叫等量關(guān)系。 ??數(shù)量關(guān)系中的三個量之間是互逆的。 ??等式表示兩個式子相等，這種關(guān)系叫作等量關(guān)系。 ??與數(shù)量關(guān)系中互逆性有別，等式中遵循的是守恒，即等號兩邊同時增加、減少，或同時擴(kuò)大、縮小，相等關(guān)系是不變的，即平時所謂的等式性質(zhì)。 ??這種對等式的認(rèn)識混淆了算式和等式之間的差別，只得了其形而未得其神，給學(xué)生們用方程解決問題帶來諸多困惑。 ??得到算式與得到等式的差別，學(xué)生們是一定可以體會的。 ??我們所接受的數(shù)學(xué)知識，是人類對世界進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的末端成果，而這個數(shù)學(xué)思考過程的起點(diǎn)或其發(fā)生進(jìn)程中的內(nèi)容卻被人想當(dāng)然地替代了，這種替代所蘊(yùn)含的錯誤給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來困難。 ??在小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”這一領(lǐng)域內(nèi)容中，有兩節(jié)課教得對與否至關(guān)重要，即以上所提到的兩節(jié)課——“方程的認(rèn)識”和“用字母表示數(shù)”。這兩節(jié)課上對了，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別是用方程解決問題中的不會設(shè)、不會列這兩個問題，就會得到基本解決。而這兩節(jié)課，是這一知識內(nèi)容的種子課。 ??要把數(shù)學(xué)教對，首先要有一些對的認(rèn)識。認(rèn)識主要包括以下幾個方面：1、知識是有類型的；2、目標(biāo)是有層次的；3、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是兒童在完成；4、課業(yè)負(fù)擔(dān)的減輕，一定要在教學(xué)方法上下功夫。 ??歸根結(jié)底，教學(xué)本質(zhì)上也是一種關(guān)系，是師生之間的關(guān)系。 ??上課前，一定要弄清楚，你上的內(nèi)容，到底是屬于小朋友的“明白”，還是他的“空白”。 ??人類的知識分為兩類：第一類是“自然早于人”，這類知識存在于自然界中，自然顯現(xiàn)，是人對自然的解讀；第二類是“人一定早于科學(xué)”，這類知識是自然界中沒有的，由人類根據(jù)需要，用語言規(guī)定出來。對第一類知識，我們用教書的第一種類型——改造型教學(xué)；對第二類知識，我們用教書的第二種模型——灌輸型教學(xué)。 ??改造的前提是讓學(xué)生成為我們的朋友，那他就能用自己的“明白”理解我們的“明白”；灌輸?shù)那疤崾菍W(xué)生愛我們，那你怎么“灌”他都覺得好，否則，你怎么“灌”他就怎么躲。 ??教書表面上是我們怎么上課，骨子里是我們跟孩子的關(guān)系。在小學(xué)里，孩子天生會愛老師，但是到三年級、四年級時，你就要拿點(diǎn)真功夫出來讓他崇拜你，這樣的愛才會持久。當(dāng)然，我們要先愛他，要“友”他。 ??所謂育人，本質(zhì)上是教人如何做人做事。在做人做事中，關(guān)鍵要學(xué)會思考，從不同的角度進(jìn)行思考。 ??當(dāng)下社會中的巨嬰癥是怎么來的？因?yàn)樗乃季S點(diǎn)永遠(yuǎn)在“我”，從來沒有過“去我”的經(jīng)歷。當(dāng)下社會中的戾氣為何時不時地會冒出來？因?yàn)樗乃季S中只有“我”，沒有對方，沒有第三方。如果每個孩子的思維方式，都能在“我”“我們”“對方”和“第三方”之間自由往返，那么每個孩子就會成長得比較理性、平和而有力量。 ??教師的兩種教法。第一種方法，教師直接告訴除法豎式的寫法，通過練習(xí)強(qiáng)化技能的掌握。這樣的課堂效率比較高，基本排除了學(xué)生的想法，我們把這種課稱為知識課。第二種方法，教師先呈現(xiàn)學(xué)生的想法，讓學(xué)生在比較中體驗(yàn)豎式對運(yùn)算的記錄意義，從而理解并掌握了除法豎式?；趯W(xué)生的想法并提升學(xué)生的想法，我們把這樣的課稱為種子課。 ??表面來看，種子課的特點(diǎn)就是特別慢。 ??從學(xué)生的課堂體驗(yàn)來看，第一種方法因?yàn)閷W(xué)生的想法排除在外，所以久而久之，學(xué)生就會形成這樣的態(tài)度：有什么好想的，記牢就好了。第二種方法因?yàn)閺膶W(xué)生的想法開始，到發(fā)現(xiàn)想法的不足，再到接受一種更為合理的想法，所以學(xué)生會自然地進(jìn)行思考并學(xué)會反思自己思考的合理性。 ??數(shù)學(xué)是思維的體操，如果學(xué)生認(rèn)為有什么好想的，數(shù)學(xué)還是數(shù)學(xué)嗎？ ??種子課的慢其實(shí)不是慢，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。而平常我們上課的快不是快，是省略了數(shù)學(xué)內(nèi)涵。種子課的慢，是為了將來的快。而平常我們上得快，可能將來會慢。 ??課改的任務(wù)是讓學(xué)生從被動變?yōu)橹鲃?，主動的學(xué)習(xí)就是自主學(xué)習(xí)，就是生本課堂。 ??我們數(shù)學(xué)教學(xué)的問題，本質(zhì)上是我們按成人的學(xué)習(xí)方式組織兒童的學(xué)習(xí)，不論這種學(xué)習(xí)用上什么工具、套上什么外衣，都無法掩蓋這個事實(shí)。 ??重復(fù)是記憶之母，而重復(fù)也是負(fù)擔(dān)之母，也是導(dǎo)致學(xué)生失去興趣的原因之一。 ??從兒童出發(fā)，是課改的標(biāo)準(zhǔn)。 ??目前，我們擅長的教學(xué)是從知識出發(fā)到知識，這種教學(xué)是最方便最簡單的。對于成人而言，因?yàn)橛欣硇缘恼J(rèn)識，或出于對學(xué)歷的需求，會耐著性子刻苦學(xué)習(xí)。但兒童不知道學(xué)這些知識有什么用，他們對學(xué)歷也沒有需求，他們無法用理性克制自己。于是，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就需要用上紀(jì)律，用上小紅花等種種誘惑了。 ??但如果我們能夠認(rèn)識到，兒童與成人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差別，從兒童真實(shí)可見的經(jīng)驗(yàn)理解入手，學(xué)生則會十分樂意參與，并在參與的過程中慢慢地、慢慢地……使之突然變成了數(shù)學(xué)理解。他們會覺得數(shù)學(xué)是十分有意思的，不需要理性去控制的，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程本身具有吸引力。 ??我們的課改為什么老是在形式上“打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”？因?yàn)槲覀儧]有這份靜心去研究兒童是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。 ??基礎(chǔ)知識可以用“知道”“了解”“理解”這些詞來描述，基本技能可以用“會”“熟練掌握”這些詞來描述。 ??顯性知識可以通過讀、背來記住。隱性知識需要通過經(jīng)歷來體驗(yàn)。 ??若顯性知識只以讀、背方式獲得，即等同于“吞吃”。若顯性知識通過經(jīng)歷的體驗(yàn)來獲得，即我們說的“嚼吃”，有甜味，或者說有數(shù)學(xué)味，那這個可感的數(shù)學(xué)味即我們說的隱性知識。 ??我們教學(xué)改革的重點(diǎn)不是去研究教學(xué)目標(biāo)表示為幾個“基”，而是去研究每一節(jié)課的體驗(yàn)點(diǎn)分別在哪里，如何展開體驗(yàn)性學(xué)習(xí)，讓老師們實(shí)實(shí)在在地展開教學(xué)。 ??概念課、起始課的特點(diǎn)是從純粹的經(jīng)驗(yàn)到純粹的數(shù)學(xué)，經(jīng)驗(yàn)需要用情境來激活，因此，這種學(xué)習(xí)樣式可以描述為這樣一個過程：創(chuàng)設(shè)情境，激活經(jīng)驗(yàn)——改造經(jīng)驗(yàn)，形成概念——辨析概念，使概念科學(xué)化。 ??真正的理解，即所謂的深度學(xué)習(xí)，用皮亞杰的理論來說，是用內(nèi)在圖式同化的結(jié)果。圖式這個詞很難理解，通俗點(diǎn)說，學(xué)生的深度理解是一個用他們的“明白”來明白數(shù)學(xué)的“明白”的過程。 ??在生活中，我們把平均分成兩份稱為二分法；同樣，把平均分成三份稱為三分法，以此類推。所以，分?jǐn)?shù)1/2的讀法也十分順其自然：二分之一。 ??學(xué)的成果如何，取決于是否能夠做到“時習(xí)”。 ??對復(fù)習(xí)課的講座，我的理解是可以分為兩類來討論：一類是以知識掌握為目的的復(fù)習(xí)課，它的現(xiàn)實(shí)意義是指向?qū)W習(xí)的形成性檢測。一類是為體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣，深度對數(shù)學(xué)有深度理解而設(shè)計的，因?yàn)樵趶?fù)習(xí)階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備比較充分，適合開展一些在新授課中無法開展的學(xué)習(xí)活動。第一類復(fù)習(xí)稱為經(jīng)典復(fù)習(xí)課，第二類復(fù)習(xí)稱為拓展復(fù)習(xí)課。 ??復(fù)習(xí)的目的主要有三個方面：第一是梳理知識，使知識點(diǎn)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化；第二是熟練技能，使學(xué)生形成能力，提高正確率；第三是發(fā)展思維，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中體會數(shù)學(xué)知識的生成。 ??數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生一點(diǎn)驚喜，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)原來可以這樣學(xué)習(xí)。 ??我們數(shù)學(xué)的教學(xué)，不正是致力于讓學(xué)生形成一種條理清晰、有邏輯、有順序的數(shù)學(xué)思維嗎？ ??對概念學(xué)習(xí)的分類，其意義不在于對知識的掌握，而在于對知識的理解。 ??平均數(shù)的概念有兩個要點(diǎn)：要點(diǎn)一，它是代表一組數(shù)的整體水平的；要點(diǎn)二，它具有虛擬的特征。就知識的完整性而言，它應(yīng)該包含以下三個部分：概念——平均數(shù)是什么？方法——如何得到平均數(shù)？應(yīng)用——平均數(shù)有什么用？ ??概念蘊(yùn)含著方法與應(yīng)用：因?yàn)榫哂刑摂M性，所以，要得到平均數(shù)需要用總數(shù)除以總份數(shù)或者移多補(bǔ)少。因?yàn)槠骄鶖?shù)代表整體水平，所以，平均數(shù)可以用來比較兩組數(shù)的水平，具有了統(tǒng)計價值。 ??正確的學(xué)習(xí)應(yīng)該是這樣的：從學(xué)生的生活中去尋找關(guān)于平均數(shù)的前概念——從前概念中生長出平均數(shù)的概念——從平均數(shù)的概念中生長中平均數(shù)的求得方法——從平均數(shù)的概念中生長出問題解決的應(yīng)用。 ??一個完整的知識學(xué)習(xí)，應(yīng)該包含以下三個問題：1、它是什么？2、怎么得到它？3、它有什么用？ ??它是什么，是概念理解；怎么得到它，通常是計算方法問題；它有什么用，即所謂的問題解決。 ??若我們的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是為了學(xué)生的考試，那缺少“是什么”的理解可能也是無關(guān)緊要的。但若我們把視角放大一些，可能就會有不同的認(rèn)識。那么，視角可以放到多大呢？曾有一位德國總理說過這樣的話：小學(xué)教師的講臺連著民族的未來。而民族的未來可能很大程度上取決于民族的創(chuàng)新能力。 ??小學(xué)學(xué)習(xí)中對“是什么”的欠缺最后呈現(xiàn)為民族原創(chuàng)能力的欠缺。 ??教學(xué)的進(jìn)步，是慢慢知道了孩子具備哪些我們的知識所對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，以及如何讓這些經(jīng)驗(yàn)與知識之間自然對接，完成生長。這個生長就是皮亞杰的“同化順應(yīng)”，就是我們說的“理解”。 ??數(shù)感培養(yǎng)的種子課盤點(diǎn)：1、整數(shù)的認(rèn)識；2、倍的認(rèn)識；3、近似數(shù)的認(rèn)識；4、平均數(shù)的認(rèn)識；5、用字母表示數(shù)；6、負(fù)數(shù)的認(rèn)識。 ??混淆，源于陌生。 ??兩個容易混淆的對象，先深刻認(rèn)識其中一個后，再認(rèn)識另外一個，是解決混淆問題的好方法。 ??當(dāng)孩子的學(xué)習(xí)發(fā)生糾結(jié)的時候，我們不要在末端煩惱，而要回到前面去，對分?jǐn)?shù)有正確認(rèn)識才是分?jǐn)?shù)問題得以正確解決的根本所在。 ??不要以為畫圖是最能懂的，關(guān)鍵是要看說明什么問題。 ??每位數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)一定要讓學(xué)生深刻地體會到：數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)是用思考來解決問題的。 ??方在一定狀態(tài)下成為圓，圓里蘊(yùn)含著許多個方。 ??從現(xiàn)象上看，線是有曲直的；從本質(zhì)上看，線是無曲直的。 ??審題審什么？首先是審問題的“境“，即情境——是合之境、分之境，抑或等合之境、等分之境。 ??發(fā)生的是事的類型，發(fā)展的是事的情節(jié)。 ??對于書本中某一個知識點(diǎn)的教學(xué)，我們需要追根溯源，厘清它的來龍去脈，找準(zhǔn)知識的生長銜接處，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，把所學(xué)之“?！保糜诜恰俺！?。 ??教學(xué)要有“長程的眼光”，應(yīng)該把教學(xué)過程的每個環(huán)節(jié)看作是這節(jié)課的一個局部，把每節(jié)課看作是整個教學(xué)單元或者教學(xué)階段中的一個局部，把每個教學(xué)單元或者教學(xué)階段看作是整個小學(xué)階段的一個局部。 ??種子課就是可供遷移、可供生長的關(guān)鍵課。與“生長課”相比較，我們就應(yīng)更加重視“種子課”的教學(xué)，從而起到“舉一反三”“觸類旁通”“促進(jìn)生成”的作用。 ??一定要對種子課花力氣，精雕細(xì)琢。這些課上好了，學(xué)生的學(xué)習(xí)就不會模糊，并于非基點(diǎn)或非節(jié)點(diǎn)的生長課上鼓勵學(xué)生自己閱讀，自己思考，就不難了。 ??真正的教學(xué)頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，這也是學(xué)校應(yīng)當(dāng)教學(xué)生的東西。 ??只要兒童沒能對自己的活動進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級的層次。 ??用生成替代重復(fù)。 ??長度單位的學(xué)習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)該具有種子課特質(zhì)。 ??以深刻達(dá)成簡約。 ??數(shù)學(xué)中我們必須由簡單的定性描述（“長短”“輕重”“大小”）過渡到精確的定量，這就是“數(shù)學(xué)化思想”的一個十分重要的內(nèi)涵。 ??成功的抽象不僅信賴于多種對象（包括“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)定式”，以及“概念變式”與“非概念變式”）的對照比較，更信賴于人們的積極思維。 ??只有從“線段的度量”過渡到了“面積與體積的度量”，我們才能幫助學(xué)生很好地理解這樣一個數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)中我們所希望的是用“計算”代替直接的度量，這事實(shí)上可看成“化歸思想”的一個具體應(yīng)用。 ??人們最初引入的計量單位往往是與自身的計量較為接近的（米與千克），然后，又都是因?yàn)閷?shí)際生活的需要在“宏觀”與“微觀”兩個方向進(jìn)行了擴(kuò)展。 ??相對于簡單的回顧與整理而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容從整體上做出進(jìn)一步的分析思考，特別是應(yīng)超越單純的生成性分析而過渡到整體性的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識上。 ??受教育的人的確跟種子一樣，全都是有生命的，能自己發(fā)育，自己生長的；給他們充分的合適的條件，他們就能成為有用之才。所謂辦教育，最主要的就是給受教育者提供充分的合適條件。 ??教師的首要姿態(tài)就是去體會，去感悟，去尊重，去喚醒。 ??最早喊出“再窮不能窮教育，再苦不能苦孩子”的是浙江。 ??如果喜歡數(shù)學(xué)，那學(xué)習(xí)困難是暫時的；如果不喜歡數(shù)學(xué)，則學(xué)習(xí)困難是持久的，積重難返。