基于本“圓” 生成無限———六年數(shù)學單元開發(fā)點滴記錄

四年數(shù)學

進入十月，學校以“有根源、有過程、有個性”為主題，開展全學科主題教研活動，鼓勵各學科開展大單元研究。 　　珍藏許久的單元“圓”終得亮相，本是第一單元，生生被留于最后，老師們對研究圓足夠執(zhí)著。這其中，附小團隊的研究成果為我們提供了寶貴的經(jīng)驗基礎，同時，六年數(shù)學組的老師們期待通過研究能夠實現(xiàn)點滴突破。為此，老師們查閱大量相關資料，并開展了關于圓的學前調查，教研，我們做著充分準備。 　　傳統(tǒng)的《圓》單元教學，主要內(nèi)容包括圓的認識、圓的周長及面積，學習活動的設計思路大體圍繞著“概念的辯識、操作的體驗、方法的演繹”開展，更多時間里，學生都是在循著老師的足跡走路，老師們期待改變。 　　關鍵時刻，我們得到數(shù)學學科“鐵三角”的傾力指導，趙校長、脫助理、王主任利用午間、下班后時間，和老師們一起探索圓的奧秘。 　　經(jīng)過反復的研討，結合學前調查，最終確定了這一單元的主題研究方向。 明線：遵循學生的認知開展教學，依據(jù)學生的思路，課堂上生成研究方案。 暗線：極限思想在課堂中的滲透。 圍繞兩條線索，分五節(jié)課教學，圓的認識、圓的周長1、圓的周長2、圓的面積1、圓的面積2。 　　傳統(tǒng)意義中，圓的認識是一種表象感知，學生關于圓的特征沒有深刻的感悟。設計判斷“游戲公平”的活動，從正三角形、正方形到正十七邊形，學生真切的感受到“中心點到頂點的距離相等”，站在頂點游戲是公平的。進而引發(fā)思考，“怎樣的圖形上任意點，與中心點的距離都相等？”圓應該是這樣的圖形，如何驗證？ 　　為什么是圓？它有什么獨特的魅力？學生提出了如下猜想： 1.圓上面有無數(shù)個頂點。 2.圓有無數(shù)條邊。 3.圓有無數(shù)個角。 循著對正多邊形的認識，大家把圓理解為“正無數(shù)邊形”。 　　這些關于圓的認知的背后，其實都是對于圓“一中同長”特征的樸實理解，是一種感性的認同，這需要有力的驗證才可以實現(xiàn)理性的認可，于是，有了接下來“驗證圓具有公平性”的學習活動。 　　常規(guī)的方法，畫出幾條甚至多條連接圓中心點與圓上任意一點的線段，測量長度，驗證是否相等。 　　用多次“對折”的方式得出“中心點與圓上任意點的線段”，重合即相等。 　　利用圓規(guī)，圍繞中心點旋轉一圈，筆尖與圓始終吻合，可以預見所有圓上的點與中心點距離相等。 　　不同的驗證方法，同學們得出相同的結論，圓上任意一點到圓心的距離都相等。在這樣的認識基礎上，展開對圓的認識，包括圓的元素及意義，圓的畫法等。 　　關于圓的概念，到定點等于定長的點的集合，雖不明晰，卻可驗證，這及符合小學生認知特點，圓正無數(shù)邊形，雖不能及，亦可想象，極限思想的滲透為后續(xù)圓的學習開啟了一扇不一樣的“門”。 　　認知起點的把握是有效教學不可或缺的前提。建構主義觀點認為，學生的學習過程是基于舊知識和已有經(jīng)驗的認知建構。因此，學生認知起點是完成學習任務的必要前提，也是學生認知發(fā)展的固著點。本節(jié)課基于學生對周長的理解和圓的認識，通過觀看古代人民制作木車輪的小視頻，感受得到圓的周長的生活需要。 　　在古代，怎么得到圓的周長呢？學生充分利用學具獨立探索，發(fā)現(xiàn)可以用線繞圓一周，再把線拉直，測量線的長度，就能得到圓的周長，學生們把這種方法稱為繞繩法。 　　還有的同學想到了在圓周上做一個小標記，然后放在格尺上，把格尺當做馬路，圓在“馬路”上滾一圈的長度就是圓的周長，學生們把這種方法稱為滾圓法。 　　也有同學想到用正方形把圓框在里邊，正方形的邊長和圓的直徑相等，可以把正方形的周長近似看成是圓的周長。同學們稱為外切法。 　　學生想到的三種方法都蘊含了“化曲為直”的思想方法。這與古代勞動人民的想法不謀而合。學生通過操作活動測量得出圓的周長，而測量方法存在誤差，還需要探索圓的周長與什么有關，有什么關系，找到計算的方法。 　　在本堂課，在探索圓的周長與什么有關的學習過程中，通過類比長方形的周長與長和寬有倍數(shù)關系，正方形的周長與邊長有關系，學生猜測圓的周長與圓的要素直徑也存在倍數(shù)關系。 　　與以往直接給出學習方案不同，讓學生通過討論自主得出學習方案，讓學生成為課堂的主人、成為探索問題的主體。 　　在第二課時中，學生實施上節(jié)課設計的學習方案，得到圓的周長除以直徑的商。從計算結果看，并未得到一個定值。教師引導學生反思探究過程，學生覺得在圓的測量過程中存在誤差，認為測量周長并不能得到圓的周長的準確結果。問題的焦點又回到了想要準確得到圓的周長。 　　面對這個難點，老師又引導學生回到最開始的想法中，讓想到“外切法”的學生在說一說他的想法，讓全體同學感知外切正方形周長既接近圓的周長，又能準確的得到外切正方形的周長。 　　這一環(huán)節(jié)中也有數(shù)學史的介紹，學生想到的分圓法和數(shù)學家劉徽的“割圓術”不謀而合，學生頭上也閃耀出了數(shù)學家的光環(huán)。 　　沿著這個思路，學生想到如果能找到滿足這兩點的圖形，就能得到圓的周長，進而給出圓的內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形。。。學生能夠感受到隨著正多邊形的邊數(shù)越多，每一條邊的長度和它對著的這條圓弧的長度就越接近，正多邊形的周長就越接近圓的周長。學生進一步感受圓是正無數(shù)變形，極限思想在本節(jié)課中得到了進一步的感知，同時也激發(fā)了學生的探索精神。 　　本節(jié)課的最后帶領孩子用思維導圖的模式梳理《圓的周長》這兩節(jié)的探究過程，培養(yǎng)學生能夠完整化學習的能力。 在《圓的面積一》的課堂上,吉祥物小羊把草吃沒后露出的地面是什么形狀的呢?圓的周長在哪里呢?劉老師能把它剝出來你信嗎?圓的面積又在哪里呢?哦！周長和面積可是很不同的,面積是一個圖形最明顯的部分,這節(jié)課我們就來研究它吧! 　　可愛的卡通形象，有趣的動畫，簡潔的問題，生動的演示，快速進入主題的過程中又讓學生深刻的體會周長與面積的不同，從實際情境中初步避免概念混淆。 　　課堂上老師鼓勵同學們將自己當做是歷史上第一個要研究圓的面積的人，帶著這樣的使命感，孩子們開始了認真的思考，也呈現(xiàn)了很多精彩的設計。 　　圓出于方，聰明的孩子們，不但想到了可以通過正方形減去4個角，來獲得大概的圓的面積，還發(fā)現(xiàn)原來正方形剪去4個角后變成了8邊形，再繼續(xù)這樣剪掉8邊形的角就變成了16邊形！這樣操作下去誤差越來越小！而且這種想法居然和劉徽想到割圓術的靈感是一樣的！但是在沒有計算器和計算機的魏晉時期，劉徽是用算籌計算到圓的內(nèi)接正3072邊形的，這種智慧和毅力深深地感染著同學們。 　　同學們還想到了將圓夾在里外兩個正方形中，通過兩個正方形的面積來確定圓的面積的范圍，在用圓的要素表示正方形的面積的過程中發(fā)現(xiàn)，圓的面積很有可能與半徑的平方有關，而且是倍數(shù)關系。學過的圖形面積的計算方法都是這個圖形的兩個要素相乘，而半徑正是決定圓的大小的要素，所以圓的面積極有可能與半徑的平方有關，這種方法更是將這個倍數(shù)限制在了2-4倍之間，同學們給這個取得重大突破的方法起名叫“里外夾圓法”。這種知識之間的遷移和理解，從道理上再一次避免了圓周長與面積公式的混淆。 　　在意識到切圓法、里外夾圓法、數(shù)格子法的的局限性后，學生們想到了通過轉化成學過的圖形的面積的方法來探索圓的面積，但是轉化為平行四邊形的過程中遇到了困難，這個所謂的平行四邊形能夠通過將圓平均分的份兒數(shù)增加的辦法來將波浪邊兒變直嗎？在討論與想象中孩子們結束了第一節(jié)的學習，十五分鐘后還有更多的精彩等待著他們。 　　圓的面積如何計算一直以來都是數(shù)學難題，古今中外很多數(shù)學家也對圓的面積進行了猜想、驗證等研究，這一難題到如今依然是學生比較難理解的部分。學生從學習直線圖形的面積，到學習曲線圖形的面積，無論是內(nèi)容本身還是研究方法，都是一次質的飛躍。本節(jié)課教學的關鍵之處在于學生通過觀察猜想、動手操作、驗證、自主探索、推導出圓的面積公式。 　　教學伊始，由上一節(jié)面積探索的方法引入，激發(fā)學生探索圓面積計算方法的學習欲望，并引導學生猜測圓面積可能與誰有關，并緊緊圍繞“轉化”思想，引導學生借助已有知識經(jīng)驗，對新知識分析、研究和歸納。 　　對于圓這樣一個曲面圖形，如何轉化、怎樣剪切都是需要思考的問題，教師由隨手的一剪引發(fā)學生思考：首先需要考慮的就是切割成的圖形要保留圓的半徑這個特征要素,這樣轉化后的圖形的邊就可以用圓的半徑或者圓周率表示出來，才能得出計算公式；第二個問題就是圓是一個曲面圖形，通過對它圓周的切割，可以把較短的曲線看成線段?；谶@些思考，我們才把圓沿著它的半徑等分成若干個小扇形。 　　對于圓分割的份數(shù)越多，所拼成的圖形是否更接近直邊圖形的探索，由學生小組合作開展研究，學生親自動手拼擺，嘗試把圓轉化成學過的平行四邊形、梯形等，并寫下研究發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)了化曲為直的目的，從而展開想象，理解當圓進行無數(shù)次的分割后，甚至可以拼成長方形，感受了極限的思想，并初步研究出了圓面積可以由轉化后圖形的面積公式進行推導。 　　終于到了面積公式的推導環(huán)節(jié)，學生們借助剛完成的學習卡，分析轉化前后圖形之間的聯(lián)系，并走出教室，在開放空間的小黑板上分組寫上詳細的推導過程，并最終得到圓的面積公式，突破了教學難點。 　　在學生們成功探索之后，又引入數(shù)學史，介紹了德國的天文學家開普勒，他提出了無窮分割法，把圓分割成無窮多的小扇形，然后求出他們的和也能推算出圓的面積。還有意大利的卡瓦列里，根據(jù)他所提出的不可分量原理也推出了圓的面積。讓學生感受到他們也經(jīng)歷了和數(shù)學家一樣的探索歷程，建立數(shù)學學習的自豪感，感受自我價值的實現(xiàn)。 　　最后，梳理圓面積整個探索過程，想得到一個圓的面積，可以用切割法、里外夾圓法和數(shù)格法去大概估計圓的面積，但是想準確知道面積，還是需要計算，我們就要探索圓面積的計算方法，需要先把圓這個曲線圖形轉化成我們學過的圖形，可以是長方形、平四四邊形、三角形和梯形，然后找到轉化前后圖形之間的聯(lián)系，并且用圓的要素來表示對應的邊，最后推導出圓面積的計算方法是S=πr2 　　大單元《圓》的研究告一段落，但老師們教研的腳步卻一直前行，持續(xù)的探索，老師們初步形成了教研意識和能力，實現(xiàn)自身的專業(yè)成長，為學生的學業(yè)成長保駕護航，教研，我們時刻準備著！