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<p class="ql-block">研求不懼炙塵浮，</p><p class="ql-block">展示辛推數(shù)課蘇。</p><p class="ql-block">汲取豐經(jīng)勤實(shí)踐，</p><p class="ql-block">更新理念踏征途。</p><p class="ql-block">——唐山市數(shù)學(xué)研討課</p> <p class="ql-block">數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)及其教學(xué)實(shí)踐</p><p class="ql-block">河北省教育科學(xué)研究院</p><p class="ql-block">崔海江</p><p class="ql-block">一、</p><p class="ql-block">關(guān)于推理能力的描述。</p><p class="ql-block">（一）作為智力結(jié)構(gòu)的推理能力</p><p class="ql-block"> 人的理性思維主要是指人的“邏輯-數(shù)理智力”。即運(yùn)算和推理的能力，表現(xiàn)為對(duì)事物間各種關(guān)系如類比、對(duì)比、因果和邏輯等關(guān)系的敏感，以及通過數(shù)理運(yùn)算和邏輯推理等進(jìn)行思維的能力。它是一種對(duì)于理性邏輯思維較顯著的智力體現(xiàn)。</p><p class="ql-block">----《智力的結(jié)構(gòu)》霍華德·加德納，1983年出版。</p><p class="ql-block">（二）作為數(shù)學(xué)本質(zhì)的推理能力</p><p class="ql-block"> 邏輯學(xué)是指思維的基本形式之一（另兩個(gè)是概念、判斷），是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過程，有直接推理，有間接推理等。</p><p class="ql-block">《怎樣解題》----波利亞</p><p class="ql-block">數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：</p><p class="ql-block">一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)、從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)：另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。但無論是演繹還是歸納，都離不開“推理”的思維和方法。</p><p class="ql-block"> 邏輯學(xué)上，推理有三種形式：演繹推理，歸納推理，類比推理。</p><p class="ql-block"> 演繹推理人類特有的一種心理活動(dòng)。演繹推理是一種從一般到特殊的推理。在這種推理中，我們根據(jù)已知的一般原理、原則、推斷到尚未認(rèn)識(shí)的特殊事實(shí)，從而獲得關(guān)于特殊事實(shí)的新認(rèn)識(shí)。初中數(shù)學(xué)平面幾何里的證明采用的就是典型的演繹推理形式。</p><p class="ql-block"> 不同學(xué)段演繹能力水平：</p><p class="ql-block">第一學(xué)段的水平是應(yīng)用簡(jiǎn)單概念對(duì)直接感知的事實(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理；</p><p class="ql-block">第二學(xué)段的水平是除了能用概念對(duì)直接感知的事實(shí)進(jìn)行推理之外，還能對(duì)用言語表達(dá)的事實(shí)進(jìn)行演繹推理；</p><p class="ql-block">第三學(xué)段的水平是能自覺的運(yùn)用演繹推理解決抽象問題。</p><p class="ql-block">歸納推理</p><p class="ql-block">(inductive reasoning)</p><p class="ql-block">歸納推理是一種從特殊或個(gè)別到一般的推理。在這種推理中，我們根據(jù)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了的一些特殊或個(gè)別事實(shí)，過渡到尚未認(rèn)識(shí)的一般原理，從而獲得新的認(rèn)識(shí)。歸納推理一直被認(rèn)為是獲取知識(shí)的有效方法?！皣L鼎一臠，他可知矣”就是比喻可以根據(jù)部分推知全體，這就是歸納推理。</p><p class="ql-block">不同學(xué)段歸納推理能力水平</p><p class="ql-block">兒童歸納推理的能力隨年齡的增長(zhǎng)而提高；材料中所包含的因素越多，歸納的難度越大，需要?dú)w納概括的意義單位達(dá)到3個(gè)時(shí)。</p><p class="ql-block">第一學(xué)段約50%的兒童能正確完成；</p><p class="ql-block">第二學(xué)段正確完成的人數(shù)比例為60%；</p><p class="ql-block">第三學(xué)段這一比率達(dá)到8o%；</p><p class="ql-block">在發(fā)展的速度方面，三四年級(jí)歸納能力發(fā)展緩慢，四五年級(jí)是發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。</p><p class="ql-block">類比推理</p><p class="ql-block">(analogical reasoning)</p><p class="ql-block">類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象在一系列屬性上相同（或相似），推斷它們?cè)诹硪粚傩陨弦蚕嗤ɑ蛳嗨疲┑耐评怼?lt;/p><p class="ql-block">“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)---康德</p><p class="ql-block">類比推理具有以下特點(diǎn)：第一，從思維進(jìn)程來看，類比推理主要是從個(gè)別到個(gè)別的推理。第二，類比推理的結(jié)論不一定是可靠的，當(dāng)前提真時(shí)，結(jié)論未必真。</p><p class="ql-block">不同學(xué)段類比推理能力水平</p><p class="ql-block">小學(xué)生類比推理能力的發(fā)展存在著年齡階段性的差異，而且各年齡階段之間的差異具有顯著性；教育條件的好壞顯著地影響著兒童類比推理能力的發(fā)展。</p><p class="ql-block">第一學(xué)段類比推理能力較低，平均正確人數(shù)比率僅有20%；</p><p class="ql-block">第二學(xué)段小學(xué)這一比率發(fā)展到35%；</p><p class="ql-block">第三學(xué)段則達(dá)到60%。</p><p class="ql-block"> 小學(xué)階段，不完全歸納推理和類比推理也統(tǒng)稱為合情推理。</p><p class="ql-block">合情推理</p><p class="ql-block">（數(shù)字推理規(guī)式、團(tuán)形雅現(xiàn)模式和文</p><p class="ql-block">字推理模式。).數(shù)子推理模式即給出一個(gè)夏列，要求被試仔細(xì)觀察該勢(shì)列各數(shù)子之間的關(guān)系，我出其中的排列規(guī)律，然后填補(bǔ)空缺頂，使之符合愿勢(shì)員的排列規(guī)律，數(shù)字提理能力主要反晚學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解能力與反應(yīng)速度，體現(xiàn)一個(gè)人抽象思維的發(fā)展水平。</p><p class="ql-block">圖形推理模式即臺(tái)出一組圖形，要求被試仔細(xì)觀察談組圖形之同的關(guān)系，也出其中的排到規(guī)律。圖形推理模式有兩個(gè)待點(diǎn)：一是圖形推理是以據(jù)理為主、其他想濰方式為輸?shù)木C合性推顯過程、在圖形推理中，尤其要伴隨看大量的空間想象。二是圖形推理的有效性既考慮圖形在空間形式結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，又考慮圖形與圖形之間內(nèi)容上的聯(lián)系。</p><p class="ql-block">文字推秀模式即通過語言描述，從已有事實(shí)出發(fā)，要求被試運(yùn)用已拿握的事物特征和知識(shí)，推導(dǎo)出其中營含的事實(shí)性結(jié)論或歸納出某些新的結(jié)論。</p><p class="ql-block">（三）核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的推理能力</p><p class="ql-block">數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。</p><p class="ql-block">數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語言。</p><p class="ql-block">（三）核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的推理能力</p><p class="ql-block">小學(xué)階段表現(xiàn)為推理意識(shí)。</p><p class="ql-block">推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論：能夠通過簡(jiǎn)單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論；通過法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程：對(duì)自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。推理意識(shí)有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。</p><p class="ql-block">推理意識(shí)：表現(xiàn)在10個(gè)方面。</p><p class="ql-block">?1.關(guān)注數(shù)的概念、運(yùn)算與關(guān)系的形成過程，了解其中的前因后果。</p><p class="ql-block">（分?jǐn)?shù)引入、通分）</p><p class="ql-block">?2.能夠依據(jù)一定的規(guī)則對(duì)數(shù)量、圖形進(jìn)行分類，知道部分與整體的</p><p class="ql-block">關(guān)系。（圖形認(rèn)識(shí)）</p><p class="ql-block">3.知道數(shù)學(xué)的判斷有真有假，如果是真的，能給出理由，如果是假的，能找到實(shí)例來反駁。（偶+偶得偶，3的倍數(shù)是奇數(shù)）</p><p class="ql-block">4.初步感悟數(shù)學(xué)中的對(duì)錯(cuò)實(shí)由一定現(xiàn)則決定的，不靠哪個(gè)人說了算。(1+1=2)</p><p class="ql-block">5.能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納和類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。（運(yùn)算律等，等周方。圓大）</p><p class="ql-block">6.能夠根據(jù)給出的實(shí)例找出其中的規(guī)律，能夠說明規(guī)律的一致性，利用規(guī)律解決問題，體會(huì)一般規(guī)律的意義。(100以內(nèi)數(shù))</p><p class="ql-block">7.能夠用化歸的方法形成局部的演繹推理。（小數(shù)乘法)</p><p class="ql-block">8.能夠理解數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論，在簡(jiǎn)單的問題情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題。（倍比問題）</p><p class="ql-block">9.能夠基于直觀經(jīng)驗(yàn)和所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)簡(jiǎn)單命題的真假給出自己的判斷，并說明理由。（分?jǐn)?shù)大小比較）</p><p class="ql-block">10.能夠理解別人的思考（包括推理）過程，提出自己的疑問或評(píng)價(jià)。</p><p class="ql-block">（概括別人的觀點(diǎn)）</p><p class="ql-block">推理</p><p class="ql-block">歸納思想：從一個(gè)或幾個(gè)已有數(shù)學(xué)事實(shí)或規(guī)則，運(yùn)用特定方法或法則。推斷出某些數(shù)學(xué)結(jié)論的思維過程。是數(shù)學(xué)</p><p class="ql-block">的基本思維方式。</p><p class="ql-block">類比推理：類比推理指由系列對(duì)象某些相同的屬性推斷它們?cè)谄渌麑傩陨弦部赡芟嗤囊环N合情推理形式。</p><p class="ql-block">數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)形結(jié)合是指把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系等與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系等結(jié)合起來。</p><p class="ql-block">逐步逼近思想：逐步逼近是指由減弱的特殊情況開始，通過不斷地發(fā)展和完善等，趨近真理的過程。</p><p class="ql-block">化歸思想：</p><p class="ql-block">運(yùn)籌思想：運(yùn)籌指為特定目的，在某些限制條件下尋求最優(yōu)解決方案的籌劃過程。</p><p class="ql-block">三、教學(xué)中推理能力的培養(yǎng)</p><p class="ql-block">（一）尊重學(xué)生推理能力的發(fā)展規(guī)律</p><p class="ql-block">(1)小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展是一個(gè)不斷建構(gòu)的過程。因此，數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)也是一個(gè)漸進(jìn)過程。小學(xué)四、五年級(jí)是學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵期。</p><p class="ql-block">(z)隨著年級(jí)的升高，程序化水平組和直覺水平組之間的差異越來越明顯，呈現(xiàn)出兩極分化的狀態(tài)。男女生的數(shù)學(xué)推理能力在總體上是平衡的，但在各成分的發(fā)展上各有所長(zhǎng)。</p><p class="ql-block">(3)小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)之間存在強(qiáng)的正相關(guān)。知識(shí)的掌握和能力的發(fā)展是相輔相成的。</p><p class="ql-block">----南京師范大學(xué) 王小寧</p><p class="ql-block">1、充分利用教材中的內(nèi)容和素材，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。</p><p class="ql-block">?(1)在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)~板塊中，包含著大量的公式、法則、定律以及一些。我規(guī)律的內(nèi)容，大多是通過不完全歸鈉，類比所得到的、都是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的有效素材。</p><p class="ql-block">(2)在“空間與圖形”申培養(yǎng)倉情推理能力。課程標(biāo)準(zhǔn)在關(guān)于"空間與圖形”的教學(xué)中提出：“降低空間與圖形的知識(shí)內(nèi)在要求，為求遵循學(xué)生的心理發(fā)展和學(xué)習(xí)規(guī)律，著職于感知和操作，多從學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生動(dòng)手，識(shí)別圖形的主要特征和圖形變換的基本性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生一定的合情推理能力。</p><p class="ql-block">(3)在小學(xué)院計(jì)與概率”的模塊中，有大量需要學(xué)生故集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，進(jìn)面根據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)甜站論的規(guī)律性知識(shí)，這些知識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的重要載體，其中統(tǒng)計(jì)和概率兩種推理形式得出結(jié)論的過現(xiàn)就是一種可能性推理，是一種合乎情理但不完全為真的推理，“統(tǒng)計(jì)與概率”的教育意義是；教會(huì)學(xué)生看問題不能絕對(duì)化，在思想上不能偏執(zhí)一端，既認(rèn)識(shí)到一種事物從總的方面來看有其一定的規(guī)律性，但是仍有個(gè)別案例的出現(xiàn)。</p><p class="ql-block">2、抓住合情推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期</p><p class="ql-block">小學(xué)四、五年段是學(xué)生推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期，教師要在這一時(shí)期著重在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。小學(xué)四、五年級(jí)的內(nèi)容安持處在一個(gè)交化時(shí)期，對(duì)數(shù)的認(rèn)訊由整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)、小數(shù)，煙算由整數(shù)的四別送算擴(kuò)展到小數(shù)的四財(cái)運(yùn)算；圖形的認(rèn)訊由平面到立體；統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)由前單到復(fù)雜。而這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無疑都需要邏輯推理能力作支撐這一階段的教學(xué)，教師要有意識(shí)地為學(xué)生提供自主探索、合作交流的時(shí)間和空間；要設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有推規(guī)性的問趣，引導(dǎo)學(xué)生參與過程，要恰當(dāng)?shù)亟M識(shí)、指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)的推理能力。，并真正鼓勵(lì)學(xué)生由主探究。這樣，就能拓寬學(xué)生推理能力的發(fā)展空間，從而有效地發(fā)展學(xué)生。</p><p class="ql-block">（二）注重培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力</p><p class="ql-block">小學(xué)數(shù)學(xué)常見的類比形式主要有性質(zhì)、法則、定律的類比，幾何圖形結(jié)構(gòu)的類比，數(shù)和形的類比，解題方法的類比等，教師可結(jié)合這些類比形式幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系。</p><p class="ql-block">1、性質(zhì)、法則、定律的類比</p><p class="ql-block">小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多內(nèi)容的性質(zhì)，法則、定律是很相似的，在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)注重它們之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比推理的方法來學(xué)習(xí)這些內(nèi)容。如計(jì)算法則中的小數(shù)加減法與整費(fèi)加減法，小數(shù)乘法與整數(shù)乘法、同分母分?jǐn)?shù)加度法與異分母分?jǐn)?shù)加堿法等。還有許多運(yùn)算定律之間也有十分密切的聯(lián)系，比如，整數(shù)加減法運(yùn)算律對(duì)小數(shù)、分?jǐn)?shù)同樣適用，加法結(jié)合律、交換律對(duì)于乘法也同樣適用，教師一定要有大觀念，使學(xué)生頭腦中建立起新舊知識(shí)之間的密切聯(lián)系。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">2、幾何圖形結(jié)構(gòu)的類比</p><p class="ql-block">幾何圖形之間也有許多相似之處，學(xué)生在學(xué)習(xí)新的幾何圖形時(shí)，可以與己學(xué)過的、熟悉的圖形進(jìn)行比較、類比，猜測(cè)新圖形可能具有的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)，建立起新舊圖形間的聯(lián)系。幾何圖形結(jié)構(gòu)的類比主要有三種形式平面圖形間的類比，立體圖形間的類比，平面圖形與立體圖形的類比</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">3、數(shù)和形的類比</p><p class="ql-block">在教學(xué)中，有些比較抽象、難理解的內(nèi)容可以和面觀、形象、易于理解的圖形之間進(jìn)行類比，兩者之間可以互相解釋，加深學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容的理解。</p><p class="ql-block">4、解題方法的類比</p><p class="ql-block">教師在教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)解照方法相似的題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行梳理和類比，使學(xué)生弄清它們之間的聯(lián)系，加深對(duì)解題方法的理解。例如，相遇問題和工程問題的解題方法十分相似，可對(duì)這兩類問題進(jìn)行類比。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">（三）重視培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力</p><p class="ql-block">a=b, b=c則a=c</p><p class="ql-block">a=b, 則a+c=b+c, ac=bc</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">（四）加強(qiáng)推理實(shí)踐活動(dòng)。</p><p class="ql-block">橡皮筋的彈性</p><p class="ql-block">六面體著色問題</p>