<h3>簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)步道不是一條道，而是在實(shí)景中設(shè)計(jì)的一系列數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)。不過(guò)，這個(gè)定義卻不能涵蓋數(shù)學(xué)步道的一些特質(zhì)。自然，實(shí)景性、在地化是顯性的，但由此帶來(lái)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的看法，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)多元智能發(fā)展、問(wèn)題解決和創(chuàng)新能力的發(fā)展則是隱性的，是在數(shù)學(xué)步道的展開(kāi)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的。展開(kāi)的過(guò)程不同，會(huì)產(chǎn)生不一樣的教學(xué)效益（效果）。其中，需要警惕的是"反教育"的負(fù)面作用。</h3><h3>筆者最早對(duì)數(shù)學(xué)步道的認(rèn)知來(lái)自于民國(guó)時(shí)期的課標(biāo)。1923年俞子夷操刀的小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)就有教學(xué)環(huán)境的建議，其中提到，可在墻上做不同面積的圖形，窗臺(tái)放不同容量的瓶瓶罐罐，廊下掛不同重量的沙袋。再之后，看到臺(tái)灣有數(shù)學(xué)步道，在我眼里，自然覺(jué)得是接民國(guó)之風(fēng)。視野所及，林福來(lái)教授、黃敏晃教授似有相關(guān)論述。杭州唐彩斌老師赴臺(tái)交流，也帶回來(lái)相關(guān)信息，后來(lái)他在六和塔下上了一堂數(shù)學(xué)課。不過(guò)，至少在2010年的時(shí)候，國(guó)內(nèi)談數(shù)學(xué)步道的不多。有一次在南京，我向臺(tái)灣房昔梅老師請(qǐng)教數(shù)學(xué)步道在臺(tái)灣的情況，旁邊國(guó)內(nèi)的兩位特級(jí)問(wèn)：什么是數(shù)學(xué)步道？</h3><h3>2014年，在《當(dāng)代教育家》發(fā)了一篇數(shù)學(xué)步道的文章，是請(qǐng)何鳳珠老師推薦的作者，但此時(shí)，我忘了作者是誰(shuí)了。但這次發(fā)的文章卻是現(xiàn)在大陸剛起步在做的數(shù)學(xué)步道的升級(jí)版：實(shí)景+人為的結(jié)合。基于實(shí)景，輔以繪畫、裝置材料設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)任務(wù)。</h3><h3>2014年暑假，有幸請(qǐng)到洪雪芬老師在"新經(jīng)典"大講壇講數(shù)學(xué)步道。2015年再請(qǐng)洪老師來(lái)悅遠(yuǎn)教育核心素養(yǎng)活動(dòng)做了講座+現(xiàn)場(chǎng)數(shù)學(xué)步道設(shè)計(jì)與任務(wù)體驗(yàn)。反響熱烈！不少地方請(qǐng)洪老師講課，更有不少學(xué)校開(kāi)始實(shí)踐。由此，算是有一點(diǎn)點(diǎn)小小波瀾（當(dāng)然，也是個(gè)人眼界所及）。</h3><h3>個(gè)人認(rèn)為，觀念一變天地寬。數(shù)學(xué)步道的設(shè)計(jì)，入門不難，但要做出"育人"的品質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)能力之外的增值效益，卻并不容易。</h3><h3>11月8日，在北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)，張宏偉老師指明希望我講講"數(shù)學(xué)好玩"，于是利用中午飯后時(shí)間，到操場(chǎng)周圍拍照。下午，做了簡(jiǎn)單的交流。今日，機(jī)場(chǎng)候機(jī)，航班延誤，實(shí)屬無(wú)聊，不如做點(diǎn)不讓自己燒腦的事情：寫下當(dāng)時(shí)所想，求教于方家。</h3><h3>——2016.11.23，記于虹橋機(jī)場(chǎng)T2航站樓</h3> <h3>測(cè)量：電線桿以及屏幕下的柱子有多高？</h3><h3>請(qǐng)注意，直接給出測(cè)量任務(wù)，讓學(xué)生在實(shí)景中測(cè)量自然也是可以的。但，如果考慮到學(xué)生的年段特點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)人物游學(xué)校，每一個(gè)數(shù)學(xué)步道實(shí)景之前，設(shè)計(jì)一點(diǎn)情境（對(duì)話、故事、動(dòng)作）。這主要是為了考慮最后步道任務(wù)的呈現(xiàn)方式：以紙質(zhì)任務(wù)單方式呈現(xiàn)的時(shí)候，有情境、有故事、有照片（實(shí)景），讓孩子有角色代入。比如，創(chuàng)設(shè)喜羊羊、懶羊羊、美羊羊，熊大、熊二、光頭強(qiáng)游校園的情景，不同角色可以說(shuō)不同思維層次水平的話，引發(fā)互動(dòng)、增強(qiáng)趣味。當(dāng)然，我那天是直接說(shuō)：陳編和c校長(zhǎng)、h老師游亦莊。</h3> <h3>已知陳編的身高，可以估計(jì)電線桿有多高嗎？</h3><h3>請(qǐng)注意，這里面有仰角的問(wèn)題，拍照越近、蹲得越低，則誤差越大。孩子未必會(huì)發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，教師要注意。如此，如果是測(cè)大屏幕下的柱子高度，數(shù)磚頭更靠譜，因?yàn)樵谡掌校嵌葐?wèn)題是系統(tǒng)變化。</h3> <h3>陳編：亦莊的"百米沙道"赫赫有名，可是，我覺(jué)得沒(méi)有100米呀！</h3><h3>注意：同樣是測(cè)量沙道的長(zhǎng)度，提問(wèn)方式不一樣，孩子操作的性質(zhì)就有可能不一樣。如果我問(wèn)：從這頭走到那頭，有多長(zhǎng)？這是指向測(cè)量和之后量感的建立。但我說(shuō)"沒(méi)有100米"其實(shí)是推動(dòng)學(xué)生去驗(yàn)證。</h3> <h3>學(xué)生會(huì)怎么測(cè)量？怎么來(lái)論證？不同的孩子有不同的選擇——這是必然的，因?yàn)楹⒆記](méi)辦法一樣，孩子也不需要一樣。那么，沙道旁的石板會(huì)不會(huì)成為度量的工具？測(cè)一塊，數(shù)一數(shù)。如果有幾種石板呢？則分別求和。</h3> <h3>孩子們恰好在玩這個(gè)"門"字形框架，框架是可以折疊的，可以變成一把"尺子"。當(dāng)然，孩子們會(huì)選其他工具。在學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位時(shí)，我們會(huì)讓孩子經(jīng)歷從"非標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量"（比如用鉛筆、文具盒、本子量出桌子長(zhǎng)）到"標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量"（統(tǒng)一長(zhǎng)度單位）的過(guò)程，但這并不說(shuō)明"非標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量"（借實(shí)物一邊）不重要了，在具體的情境中，靈活地借助不同東西的長(zhǎng)度，恰恰是一種能力。</h3> <h3>認(rèn)識(shí)校園中的正多邊形，測(cè)體積。如果知道深度，則更加生活化：裝了多少"立方"的土？（"土方"一詞的生活含義）之前的沙道自然也是可以測(cè)裝了多少"噸"沙的?！钪校煌瑘?chǎng)景進(jìn)行計(jì)量有時(shí)用體積單位，有時(shí)用重量單位。</h3> <h3>遠(yuǎn)處的矮圓柱，近處的黑圓柱，測(cè)體積，培養(yǎng)量感。先猜，再測(cè)。猜不是隨意地猜，可以猜一維長(zhǎng)度，二維底面積，計(jì)算著猜。猜多了，計(jì)算自動(dòng)化，憑"眼力"和感覺(jué)猜。這里有不精確—計(jì)算精確—直覺(jué)精確（敏感）的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程也是課堂教學(xué)可以關(guān)注的。</h3><h3>由規(guī)則推斷不規(guī)則：月牙形的怎么辦？孩子們能體會(huì)體積計(jì)算的"底面積Ｘ高"的共通之處嗎？</h3> <h3>亦小的噴泉池。在這里可以講12獸首的故事（個(gè)人不喜歡在愛(ài)國(guó)主義這一塊煽情，比較客觀地講）：圓明園里的"水龍頭"，我們太在乎，人家反而賣高價(jià)了?。ú┺恼摪。。┱?qǐng)問(wèn)：要把他們裝箱打包運(yùn)回國(guó)內(nèi)，要做多大的一個(gè)方木箱？這個(gè)任務(wù)，獸首是不規(guī)則的，卻要孩子找到規(guī)則的長(zhǎng)寬高，難度在高?！蚴祝溲蚪堑姆秶浅^(guò)底座的，和其他的還不一樣?，F(xiàn)實(shí)情境有一個(gè)特點(diǎn)：復(fù)雜！</h3> <h3>海報(bào)欄，當(dāng)然是：面積多大？廣告公司噴繪是x元一平方米，總價(jià)是多少？</h3> <h3>孩子們?cè)陉P(guān)注海報(bào)欄，里面有校長(zhǎng)講話的照片。由此提出論證題：校長(zhǎng)講話的照片和整塊展板，形狀是一樣的嗎？（證明形狀的相似性，比例）</h3> <h3>從反面看櫥窗，出面積的題目更合適，無(wú)關(guān)因素干擾少。銀杏葉子已經(jīng)掉落了，如果你學(xué)過(guò)《一片葉子掉下來(lái)》，那么能不能統(tǒng)計(jì)一下大樹(shù)是怎么掉葉子的？每天掉的數(shù)量一樣嗎？你可以像觀察大蒜一樣畫圖哦?。ㄟ@個(gè)工作量比較大，可以小組合作。）</h3><h3>樹(shù)、影子，作為老師的你有沒(méi)有想到測(cè)金字塔高度的故事？</h3> <h3>這個(gè)地方可以躲雨遮陽(yáng)。一塊板下可以躲幾個(gè)小朋友？（量感）沒(méi)有那么多小朋友來(lái)站到下面來(lái)做實(shí)驗(yàn)，怎么辦？（抽樣，局部-整體）。</h3><h3>陽(yáng)光撒下來(lái)，其實(shí)是投影。落雪之后，也是如此。北京已經(jīng)落雪，可否直觀地滲透投影呢？（正投影）</h3> <h3>"這有多少鵝卵石？""我們一顆一顆數(shù)一數(shù)吧！""太麻煩了！我有好辦法…我要一張A4紙。"</h3><h3>估算，局部推測(cè)整體。</h3> <h3>數(shù)圖形，有多少個(gè)平行四邊形？</h3><h3>分享交流時(shí)，追問(wèn)：怎么數(shù)，不重復(fù)，不遺漏？（培養(yǎng)目標(biāo)在于：思維的全面、有序）</h3> <h3>數(shù)圖形，對(duì)頂角相等，三角形的相似。</h3> <h3>井蓋是圓的，這一圈圍著井蓋的路牙子也是圓的嗎？驗(yàn)證。會(huì)涉及對(duì)怎樣算是"圓的"標(biāo)準(zhǔn)的討論。因?yàn)槊繅K磚頭是方的，論證可以有實(shí)際測(cè)量、推理兩種方式。不同的孩子對(duì)此必然會(huì)有不同的觀點(diǎn)。</h3><h3>化圓為方，以及以方建圓的案例補(bǔ)充：比如煙囪、割圓術(shù)、清真寺的穹頂。把知識(shí)還原為解決問(wèn)題的狀態(tài)，還原為對(duì)古人智慧的"體貼"。</h3> <h3>亦小的專業(yè)輪滑場(chǎng)，轉(zhuǎn)角是圓的一部分嗎？（圓?。?yàn)證。</h3> <h3>小柯老師和孩子們一起玩足球。可以設(shè)計(jì)這樣的場(chǎng)景，定點(diǎn)射門：球門分區(qū)域，簡(jiǎn)單地可以用兩根繩子分成左、中、右，三塊區(qū)域，中間區(qū)域小一些，踢入中間5分，踢入兩邊3分?！獮槭裁催@么設(shè)計(jì)？和輪盤轉(zhuǎn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)有什么相似之處？</h3> <h3>小花壇的燈，自然可以設(shè)計(jì)：測(cè)量圓面，計(jì)算圓柱體積。但我會(huì)拍它是因?yàn)榭吹?lt;span style="line-height: 1.5;">灰塵比較厚和淺的部分有明顯的界限，頂部的圓面分成大小兩部分。由此設(shè)計(jì)沿著上面的分解線垂直切下去，會(huì)是什么形狀？（空間想象，截面）進(jìn)一步，可以再畫幾條線，包括直徑，讓孩子想一想會(huì)是什么形狀，然后組織驗(yàn)證。</span></h3><h3><span style="line-height: 1.5;">進(jìn)一步，斜著在燈柱上扎幾根皮筋或繩子，讓孩子想象截面形狀。</span></h3><h3><span style="line-height: 1.5;">這里也提醒我們，為了數(shù)學(xué)的目的，可以對(duì)實(shí)景進(jìn)行部分的人為改造。</span></h3> <h3>洗手間的一面墻。<span style="line-height: 1.5;">組合圖形的面積，可以拍照，然后在照片上圈出一塊面積，讓孩子在實(shí)景中計(jì)算。也可以在實(shí)景中用不干膠粘出圖形（可以不沿著原來(lái)的邊線），讓孩子計(jì)算不干膠內(nèi)的區(qū)域（設(shè)計(jì)到測(cè)量、圖新割補(bǔ)）。</span></h3> <h3>洗手間的地板，同樣可以如墻那樣處理，但也可以讓孩子簡(jiǎn)單地測(cè)瓷磚變長(zhǎng)邊長(zhǎng)、面積，1塊的、4塊的、其他數(shù)量的。目的在于建立量感。可以追問(wèn)，測(cè)量教室的話，可以選哪一塊（1塊、4塊或其他的）作為測(cè)量單位?！娣e單位，以及其他單位都有共同的特點(diǎn)：有不同大小的單位，以應(yīng)對(duì)不同的測(cè)量需求；不同單位有進(jìn)率且有跳躍（米到前面，百分?jǐn)?shù)到ppm，千克到噸），以達(dá)到單位互通和單位數(shù)量適中的目的。</h3> <h3>學(xué)校教學(xué)樓之間的雕塑。三視圖、投影！讓人想到一堂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，邢佳立老師的"圖形穿越"：立體王國(guó)的穿墻術(shù)。（可以設(shè)計(jì)立體王國(guó)發(fā)生盜竊案的情景，監(jiān)控拍下了三視圖，抓罪犯——這恰恰又可以和涉及面在體上的數(shù)學(xué)繪本《誰(shuí)偷走了西瓜》溝通起來(lái)。）</h3> <h3>橫看成嶺側(cè)成峰！數(shù)學(xué)與語(yǔ)文自然可以溝通。</h3><h3>正大綜藝?yán)锏囊粋€(gè)游戲不也正是如此嗎？</h3> <h3>陳編：漂亮的臺(tái)階！我喜歡梵高的《星空》，孩子們能畫嗎？【情境好久沒(méi)出現(xiàn)了，怕大家忘了。哈哈】</h3><h3>實(shí)作任務(wù)：讓孩子自己搭建項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)（超越課堂教學(xué)意義上的小組合作），裝飾學(xué)校的一段臺(tái)階?！@可以做成一個(gè)"項(xiàng)目學(xué)習(xí)"（PBL）的任務(wù)。</h3> <h3>室內(nèi)，孩子們種的蒜苗。統(tǒng)計(jì)。</h3> <h3>南瓜燈，體積。如果是自己制作的話，讓孩子用自己的方法算球體的表面積?！y嗎？難才有意思！</h3> <h3>早上在餐廳看到這個(gè)桌子可把我樂(lè)的！——在側(cè)面加了一把凳子，就和下面圖中的題目一致了。</h3><h3>桌子a和凳子b是什么關(guān)系？（函數(shù)）如果有N張桌子，多少人？如果有N個(gè)人，多少桌子？（順逆）</h3> <h3>在課本上、試卷上、習(xí)題上看到這道題目，和在食堂中基于實(shí)景來(lái)探究規(guī)律，感覺(jué)是不一樣的。尤其是學(xué)生對(duì)知識(shí)的"真實(shí)感"和"應(yīng)用性"的感受。</h3> <h3>下午分享前拍的照片，和燈柱的截面有異曲同工之處。只是，這個(gè)實(shí)景研究投影、截面有時(shí)效性。不過(guò)，如果研究時(shí)間呢？（時(shí)間的定義常常需要一種穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)作為"尺子"，因此，年月日既是時(shí)間單位，也是運(yùn)動(dòng)的主體，"年"甲骨文是背著稻谷的人，是指一年一熟的意思，本質(zhì)上是太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)。）</h3> <h3>"中國(guó)瓷"項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的一個(gè)課程作品，測(cè)量面積的"蒙特卡洛法"！如果覺(jué)得蒙特卡洛法太遠(yuǎn)，那么這樣一種思想是古今相通的：規(guī)則排列黃豆、瓷片等，根據(jù)落入不規(guī)則圖形（此處的大碗）和全部黃豆、瓷片的比例獲得不規(guī)則圖形的面具。比如，測(cè)量圓面積，可以用黃豆鋪滿整個(gè)外界正方形面積，然后數(shù)數(shù)圓內(nèi)黃豆的占比，數(shù)量比推出面積比。</h3> <h3>不再設(shè)計(jì)了?？梢粤谐鲆恍┳⒁恻c(diǎn)：</h3><h3>1、<span style="line-height: 1.5;">同一個(gè)實(shí)景可以設(shè)計(jì)不同年級(jí)、學(xué)科指向的題目。2、</span><span style="line-height: 1.5;">數(shù)學(xué)步道的參與者不僅僅是學(xué)生，更可以是老師、親子。老師的參與可以拓展對(duì)學(xué)科的認(rèn)識(shí)，這何嘗不是專業(yè)素養(yǎng)的一部分？（很多老師眼里只有教材，缺失了很重要一項(xiàng)審美品質(zhì)：數(shù)學(xué)可以玩兒?。┯H子互動(dòng)的意義不多言，"奢望"是親子在學(xué)校之外，以數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，自己設(shè)計(jì)、自己玩兒。3、</span><span style="line-height: 1.5;">留下一些場(chǎng)景給孩子來(lái)設(shè)計(jì)題目，可以給出指定的場(chǎng)景（拍好一些照片），也可以讓孩子自己選擇場(chǎng)景。4、</span><span style="line-height: 1.5;">步道的評(píng)價(jià)要注意，可以參考一些評(píng)價(jià)量表。5、孩子的解題成果可以作品化，進(jìn)行展示。6、可以和寫作、美術(shù)等學(xué)科整合，以項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式來(lái)做。7、數(shù)學(xué)步道可以作為數(shù)學(xué)學(xué)科的創(chuàng)意課程，以課程的力量賦予數(shù)學(xué)冷峻之外的脈脈溫情。</span></h3> <h3>歷史步道，給文化以時(shí)空緯度。數(shù)學(xué)步道，觀世界以數(shù)學(xué)眼光。</h3> <h3>word大哥，這能見(jiàn)度9999米怎么來(lái)的？！</h3><h3>有時(shí)過(guò)分的精確恰恰帶來(lái)了反作用，比如大家熟知的：此地?zé)o銀300兩，隔壁阿二不曾偷。</h3><h3>——2016年11月23日，機(jī)場(chǎng)、機(jī)上，27日修改補(bǔ)充。</h3>