<h3> </h3> <p><b style="font-size: 22px;"> 老陶同學(xué)：前一段時(shí)間，同學(xué)群里風(fēng)行猜謎游戲和數(shù)學(xué)習(xí)題問(wèn)答，我雖不曾參與，但看到其中有些習(xí)題蠻有味，于是便湊趣在家自?shī)首詷?lè)編解了幾道數(shù)學(xué)題。記得當(dāng)年我們同在八中高32班讀書(shū)時(shí)，你我都曾對(duì)數(shù)理化這幾門(mén)功課情有獨(dú)鐘，可如今時(shí)過(guò)境遷，一晃五十多年過(guò)去了，也不知道老同學(xué)現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)還有沒(méi)有興趣，而我就貿(mào)然把這些習(xí)題轉(zhuǎn)發(fā)給你，望見(jiàn)諒?！ ?lt;/b></p><p><b style="font-size: 22px;"> 我所編解的這幾道數(shù)學(xué)題的內(nèi)容，其一是跟老麻當(dāng)時(shí)在同學(xué)群里所出的題目基本相似，有一定難度，但又有所不同；其二是受佳木和老桂完美而獨(dú)到的解題方法的啟發(fā)，我又增加了兩道或許是難度更大、和內(nèi)容更加全面的題目。我編解這些數(shù)學(xué)題的目的，是想通過(guò)微信聊天的方式、與老同學(xué)來(lái)共同分享數(shù)學(xué)的魅力和解題的樂(lè)趣，並淺談一下自己對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)律性的一些不成熟看法。筆記共分兩部分。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">第一部分：自編自解的數(shù)學(xué)題</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">第一題：解不定方程x3+y3+u3+w3=6992 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">? (注：其中未知數(shù)x y u w均為自然數(shù)，且x>y>u>w)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">解：∵（203=8000)>6992>(6859=193）∴方程的最大未知數(shù)x<20 這4個(gè)未知數(shù)應(yīng)在數(shù)集{0~19}之內(nèi) 數(shù)0~19的立方數(shù)從小到大列表分別是0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000，1331，1728，2197，2744，3375，4096，4913，5832，6859</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">把原方程式移項(xiàng)得y3+u3+w3=6992-x3</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">當(dāng)x=19時(shí) 則y3+u3+w3=6992-6859=133 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">從表中可找到合適的立方數(shù)並組合相加得</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">125+8+0=53+23+03=133 ∴y=5 u=2 w=0</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴x=19 y=5 u=2 w=0是此方程的1組解 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">同理可求出x=17 y=12 u=7 w=2是此方程的第2組解</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">x=16 y=14 u=5 w=3是此方程的第3組解 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">? 除此之外，x y u w的任何組合計(jì)算，方程均無(wú)解</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">第二題：解不定方程x3+y3+u3+w3=3968</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">(其中x﹥y>u﹥w且是等差為4的等差數(shù)列的自然數(shù)。)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">解：∵(163=4096)﹥3968>(153=3375) </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">?∴此方程最大未知數(shù)x<16 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∵原方程4個(gè)未知數(shù)是等差為4的等差數(shù)列</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴可變?yōu)?w+12)3+(y+8)3+(w+4)3+w3=3968 (1)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">展開(kāi)方程(1)后，整理得4w3+72w2+672w-1664=0 (2)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">方程(2)兩邊同除以4得 w3+18w2+168w-416=0 (3) </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">又∵原方程最大的未知數(shù)x=(w+12)<16 ∴w<4 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">即w有可能是0~3，分別以0，1，2，3代入方程(3)進(jìn)行驗(yàn)算</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">只有當(dāng)w=2代入(3)計(jì)算時(shí) 23+18x22+168x2-416=0</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴w=2是方程(3)唯一的解 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">得x=2+12=14 y=2+8=10 u=2+4=6</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴原方程的解是</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">x=14 y=10 u=6 w=2</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">或用因式分解法解方程(3) 得(W-2)(W2+20W+208)=0</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴W-2=0，W=2， 而W2+20W+208=0 (無(wú)解) </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> ∴W=2是方程(3)的解 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴X=12+2=14 y=8+2=10 u=4+2=6</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">∴原方程的解是</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"><span class="ql-cursor">?</span>Ⅹ=14 y=10 u=6 W=2</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">第三題：把m(≥4)個(gè)蘋(píng)果按n個(gè)人一組次進(jìn)行分配，規(guī)定每人每次至少要分一個(gè)蘋(píng)果，且每次分法都不相同。假設(shè)n=4人(注：以n?表示n，下同)，總分配次數(shù)為S? ，已知m=7(個(gè)) S?=20(次) 又知m=8(個(gè)) S?=35(次)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">求：當(dāng)m=30(個(gè)) 此時(shí)S?=？</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">解：依題意，可知其中每人一次最多只可能分（m-3）個(gè)蘋(píng)果，釆用排列組合可得到(m-3)個(gè)項(xiàng)，每一項(xiàng)的分配次數(shù)就是其中每個(gè)人分多少個(gè)蘋(píng)果的次數(shù)，總分配數(shù)S?等于每一個(gè)人所分蘋(píng)果各項(xiàng)次數(shù)相加的總和，當(dāng)m=7時(shí)，則7-3=4(項(xiàng)) 其中每一個(gè)人分4個(gè)蘋(píng)果的次數(shù)為1，分3個(gè)的次數(shù)為3，分2個(gè)的次數(shù)為6，分1個(gè)的次數(shù)為10，∴S?=1+3+6+10=20（次） 把上式各項(xiàng)乘以2/2 即得S?=1x2/2+2x3/2+3x4/2+4x5/2=20(次)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">當(dāng)m=8時(shí) 則8-3=5(項(xiàng)) S?=1+3+6+10+15=35(次)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">即S?=1x2/2+2x3/2+3x4/2+4x5/2+5x6/2= 35(次)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">當(dāng)m為≥4時(shí)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">則S?=1x2/2+2x3/2+3x4/2+……+(m-3)(m-2)/2</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> 把上式相加的各項(xiàng)分子分母再同時(shí)x3</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> 得S?=[1x2x(3-0)+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+……</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> +(m-3)(m-2)(m-1-m+4)]/2x3</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> =[1x2x3-1x2x0+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> +(m-3)(m-2)(m-1)-(m-4)(m-3)(m-2)]/6</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> =(m-3)(m-2)(m-1)/6 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> ∴當(dāng)m=30時(shí) 得S?=(30-3)(30-2)(30-1)/6=3654(次)</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">第四題：已知正整數(shù)集｛1~13}里的每一個(gè)數(shù)，從該數(shù)集中3個(gè)3的多次方數(shù)選其中幾個(gè)、再組合加減都可分別算出，又知正整數(shù)集｛1~40｝里的每個(gè)數(shù)，從該數(shù)集中4個(gè)3的多次方數(shù)選其中幾個(gè)、再組合加減也可分別算出。求：(1)正整數(shù)3000所在的數(shù)集。(2)列式並計(jì)算出數(shù)3000</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">解：∵最大數(shù)32﹤13<33 ∴數(shù)集｛1~13｝中的每一個(gè)數(shù)，都可從3o、31、32這3個(gè)數(shù)中，選幾個(gè)不同的數(shù)組合再分別加減算出，即數(shù)5=32-31-3o 6=32-31 9=32 …… 其中最大的數(shù)13=3o+31+32 即13=(33-1)/2 同理 ∵最大數(shù)33<40<3? ∴數(shù)集｛1~40｝中的每一個(gè)數(shù)，都可從3o、31、32、33這4個(gè)數(shù)中，選幾個(gè)不同的數(shù)組合再分別加減算出，其中最大數(shù)40=[3?-1]/2 同理數(shù)集｛1~m｝中的每一個(gè)數(shù)，都可從數(shù)3o、31、32、33……3?這(n+1)個(gè)數(shù)中，選幾個(gè)不同的數(shù)組合再分別加減算出它最大的數(shù)是m=[3???1?-1]/2 當(dāng)數(shù)集中某一個(gè)數(shù)=3000時(shí) ∵3?<3000<3? </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">?∴(1) 3000在數(shù)集{1~[3?-1]/2}中 即在{1~3280}之內(nèi)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> (2) 3000=31+3?+3?+3?=3+81+729+2187</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">第二部分：對(duì)自編自解的數(shù)學(xué)題的補(bǔ)充說(shuō)明</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;">一、為活躍同學(xué)群的氣氛，也為預(yù)防老年癡呆癥，最近老麻在群里出了不少有趣的謎語(yǔ)、和精彩的數(shù)學(xué)習(xí)題而深受歡迎，不過(guò)其中有些謎語(yǔ)和習(xí)題也可能是由于過(guò)于深?yuàn)W、或者還是因?yàn)槠渌矫娴脑颍屓俗聊ゲ煌付獾劫|(zhì)疑。例如他所出的解方程x3+y3+u3+w3=1408這一題，群里就有好幾個(gè)老同學(xué)認(rèn)為他出的題目有問(wèn)題，說(shuō)一個(gè)方程式怎么也解不了多元多次方程，並抱怨他的解方程提法是誤導(dǎo)人。對(duì)此我是這樣理解的：首先我認(rèn)為，老麻他一生都致力于數(shù)學(xué)的研究和應(yīng)用，因此在我們所有老同學(xué)當(dāng)中，他的數(shù)學(xué)天賦和權(quán)威是應(yīng)當(dāng)?shù)玫娇隙ǖ?。不過(guò)人有其長(zhǎng)，亦有其短?；蛟S是因?yàn)樗臄?shù)學(xué)天賦太高，而襯托出他的語(yǔ)言表達(dá)能力就有所欠缺。所以，即便他出的題目真有問(wèn)題，那應(yīng)當(dāng)是他語(yǔ)言表達(dá)方面所造成的過(guò)錯(cuò)，如有誤導(dǎo)，也決非他的本意。其次是我認(rèn)為，解一個(gè)多元多次方程式的提法本身並無(wú)過(guò)錯(cuò)，但是這種提法得有一個(gè)前提，那就是這個(gè)方程必須是一種特殊的方程式，它只有在特定的條件下、而且主要是靠解不定方程的特殊方法才能完成的。遺憾的是老麻提問(wèn)時(shí)向來(lái)言簡(jiǎn)，沒(méi)有去設(shè)定這些特定的條件和方法，這樣出題的不嚴(yán)謹(jǐn)而存在的一些漏洞，很可能就會(huì)對(duì)解題帶來(lái)如下意想不到的結(jié)果。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> (1)、可以肯定，上述方程如不用解不定方程的方法，又不假定其他條件，那是無(wú)法解的。這就證明了有同學(xué)所吐槽的，一個(gè)方程式是怎么也解不了多元多次方程的道理。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> (2)像解x3+y3+u3+w3=35這樣的不定方程，如不假定未知數(shù)是自然數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)未知數(shù)x=3 y=2 u=n w=-n(n為任一實(shí)數(shù))，此時(shí)方程有無(wú)數(shù)組解。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> (3)雖已假定不定方程的未知數(shù)為自然數(shù)，但不假定未知數(shù)大小的排列順序，這就會(huì)出現(xiàn)方程有一題多解。記得有一次老海在群里轉(zhuǎn)發(fā)我編的一道題，這題完全是參照老麻的出題方法、去求方程x3+y3+u3+w3=6992的解，可答題的老麻卻意外地只能答出一組x=19 y=5 u=2 w=0的答案，而另外還有x=17 y=12 u=7 w=2 和x=16 y=14 u=5 w=3等71組答案並未答出來(lái)。我想出現(xiàn)這樣的情況既意外而又不意外，要說(shuō)意外是沒(méi)想到數(shù)學(xué)權(quán)威竟解答不全一般的數(shù)學(xué)習(xí)題，要說(shuō)不意外那是因?yàn)槔下槌鲱}時(shí)就根本沒(méi)考慮假定的因素，那么答題時(shí)他就自然考慮不到會(huì)有一題多解的結(jié)果。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> 由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是如此之重要?？磥?lái)今后出題解題都一定要慎重周到，該考慮的因素都要考慮，該說(shuō)的話一定不能省。這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，我前面所編解的那兩道題就是反復(fù)說(shuō)明這個(gè)道理的。</b></p> <p><b style="font-size: 22px;">二、作為玩牌猜謎算數(shù)等游戲場(chǎng)外的旁觀者，我羨慕老海、老桂及佳木，因?yàn)樗麄內(nèi)硕际沁@些游戲場(chǎng)中的佼佼者。三人當(dāng)中，老海真不愧是老海，他好像天下地上的事全都知道，語(yǔ)數(shù)理化歷史地理更是無(wú)所不曉，故常被老麻譽(yù)為神童智叟。不過(guò)由于他最近幾次都解答不出老麻所出的那幾道數(shù)學(xué)題，這使我不得不又改變了看法，覺(jué)得佳木和老桂的表現(xiàn)似乎更勝老海一籌。佳木和老桂基礎(chǔ)扎實(shí)，頭腦敏捷，思路清晰，解題快速，技巧獨(dú)特，他們都非常完美地各自解出了老麻的一道數(shù)學(xué)題。更有意思的是，他倆所解的題目都有一定的規(guī)律，于是在他倆高超的解題技巧啟發(fā)下，我便利用數(shù)學(xué)的規(guī)律性編解了如下題目。</b></p><p><b style="font-size: 22px;"> (1)、我編解的第三題，是把總數(shù)為m(≥4)個(gè)蘋(píng)果按n(=4)人一組次(其中每個(gè)人都至少要分到一個(gè))進(jìn)行分配，這跟老麻按3人一組次分配的題目是一樣的性質(zhì)，但難度有所增大。為更好的說(shuō)明問(wèn)題，先還是回顧一下佳木是如何解答老麻的那道題吧。雖說(shuō)老麻的那道題有些難，但佳木卻以他扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，在牌桌上第一時(shí)間就列表算出了答案，做到打牌解題兩不誤，其速度之快，答案之準(zhǔn)確，確實(shí)令人瞠目結(jié)舌。牌后，為彌補(bǔ)打牌時(shí)搶答而漏寫(xiě)公式的小失誤，他又用排列組合的方法，推導(dǎo)出計(jì)算總分配數(shù)S?的公式為(m-1)(m-2)/2，整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程有理有據(jù)，就連老麻都為之贊嘆不已。</b></p><p><b style="font-size: 22px;"> 我的4人一組分配與佳木3人一組分配的解題，都是采用排列組合的同一方法，也就是數(shù)學(xué)上所常用的，先由特殊到一般，再?gòu)木唧w到抽象，最后根據(jù)數(shù)學(xué)的規(guī)律性，歸納總結(jié)出帶有普遍性的通用公式來(lái)。雖說(shuō)兩者解題方法相同，但解題的難度卻不一樣，4人一組的難度相對(duì)還是要大一些，所以它的計(jì)算公式也與3人一組的不盡相同。為尋找這個(gè)新公式，在推導(dǎo)過(guò)程中我曾兩次變更公式，把式中相加的各項(xiàng)分別同時(shí)乘以2/2和3/3，最后終于得到了便于計(jì)算的新公式即S?=(m-1)(m-2)(m-3)/(n?-1)(n?-2)(n?-3)的通用公式。同理，二人一組和三人一組也可分別得公式，即S?=(m-1)/(n?-1) ，S?=(m-1)(m-2)/(n?-1)(n?-2)，經(jīng)過(guò)比較后我發(fā)現(xiàn)，原來(lái)這些公式都有同一規(guī)律，只要把S? S? S?式分別再變式，變式后S?=(m-1)(m-n?)！/(m-n?)！(n?-1)！S?=(m-1)(m-2)(m-n?)！/(m-n?)！(n?-1)！ S?=(m-1)(m-2)(m-3)(m-n?)！/(m-n?)！(n?-1)！這時(shí)便可歸納出一個(gè)總公式 即S=(m-1)！/(m-n)！(n-1)！(其中m、n是正整數(shù)，且m≥n，n≥2)。有了這個(gè)總公式，解這一類型的題目就容易多了，解時(shí)只要把m、n的具體數(shù)據(jù)填入公式內(nèi)，就能輕松算出答案來(lái)。</b></p> <p><b style="font-size: 22px;">(2)、我編解最后一道數(shù)學(xué)題的靈感，完全來(lái)自老桂完美題解的啟發(fā)。要說(shuō)老桂解題完美，首先是他解題的速度快，因?yàn)楫?dāng)老麻的題剛出不久，當(dāng)別人對(duì)那道4砝碼稱重40碼的題目還是一頭霧水之際，他就準(zhǔn)確無(wú)誤地算出了答案，其理解能力和運(yùn)算速度確實(shí)驚人。其次是老桂解題的方法更有獨(dú)到之處，他充分利用平衡的原理、想出在天平兩邊放置不同的砝碼來(lái)對(duì)沖相減的辦法，用1克、3克、9克和27克這4個(gè)砝碼的不同組合相加減，巧妙地稱出了1~40克范圍內(nèi)各物體的重量，這獨(dú)到的解題技巧更令人拍手稱絕。不過(guò)對(duì)他的巧妙解法，我除了佩服之外，卻又有些好奇，總覺(jué)得這題有些特別。再仔細(xì)觀察，原來(lái)是這4個(gè)砝碼數(shù)特別，它們竟都是3的多次方，而且都是依次從小到大的3的多次方，也就是說(shuō)這些數(shù)之間存在有一定的規(guī)律。為尋找這個(gè)規(guī)律，于是便有了我最后一題的編解。</b></p><p><b style="font-size: 22px;"> 老桂在1~40克范圍內(nèi)稱重的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)就是在正整數(shù)集{1~40}中求某數(shù)的運(yùn)算過(guò)程，為便于解題，因此我所編的題就把稱重改為求數(shù)的運(yùn)算。在編題的過(guò)程中，我想既然數(shù)集{1~40}中的某數(shù)能由4個(gè)從3o開(kāi)始連續(xù)的3的多次方數(shù)不同組合算出，那么其他數(shù)集中的數(shù)，也一定能用從3o開(kāi)始多個(gè)連續(xù)3的多次方數(shù)不同組合算出。于是我仍釆用先由特殊到一般，再?gòu)木唧w到到抽象的方法，通過(guò)對(duì)這一題的解答，最后終于歸納出一條規(guī)律：那就是從3o、31、32……3?的這(n+1)個(gè)數(shù)中，選幾個(gè)不同的數(shù)組合再分別加減所得出的數(shù)、可以組成任何正整數(shù)集{1~m}，這些數(shù)集中的最大數(shù)就是數(shù)3o+31+32+……+3?的總合，即m=[3???1?-1]/2</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px;"> 老同學(xué)：聊了這么久，是到該結(jié)束話題的時(shí)候了。話雖說(shuō)了這么多，但你清楚我也明白，其實(shí)我只不過(guò)是一個(gè)好說(shuō)閑話的事后諸葛亮。因?yàn)槲业倪@些話題，都是在品讀老麻、老桂和佳木的精彩編題和解題之后的有感而發(fā)，當(dāng)然也有我個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)某些方面的不成熟探討。因此，這其中肯定會(huì)有一些不足、或片面、甚至是錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，不當(dāng)之處，還請(qǐng)老同學(xué)多加指教。</b></p>