<h3><b>數(shù)學是一門神奇的學科，其中的悖論是很有趣的。下面就跟著五班的同學們走進悖論，看看它如何引發(fā)了第二次數(shù)學危機吧???^o^</b></h3> <h3>第二期畢氏門徒數(shù)學社團社團要求*^_^*</h3><h3>??通知?? </h3><h3>?? 活動拓展：第二次數(shù)學危機</h3><h3> 第二次數(shù)學危機，指發(fā)生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎(chǔ)定義展開的一場爭論，這場危機最終完善了微積分的定義和與實數(shù)相關(guān)的理論系統(tǒng)，同時基本解決了第一次數(shù)學危機的關(guān)于無窮計算的連續(xù)性的問題，并且將微積分的應(yīng)用推向了所有與數(shù)學相關(guān)的學科中。</h3><h3> 這次危機的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時空的有限與無限的四個悖論。</h3><h3>?? 活動內(nèi)容：</h3><h3> 同學們可以通過網(wǎng)絡(luò)或書籍查找第二次數(shù)學危機的始末和悖論相關(guān)的知識。</h3><h3>?? 要求：</h3><h3>1.全員參與?? </h3><h3>2.參與同學在2月23日下午8點前將學習時的圖片和學習感想發(fā)至此群?? </h3><h3>3.學習內(nèi)容積極向上??</h3> <h3>下面來看看同學們查找的資料吧??！</h3> <h3>第二次數(shù)學危機的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時空的有限與無限的四個悖論：1."兩分法"、2."阿基里斯追不上烏龜"、3."飛矢不動"、4."操場或游行隊伍"。</h3><h3>我比較感興趣的是“飛矢不動”。芝諾提出，由于箭在其飛行過程中的任何瞬間都有一個暫時的位置，所以它在這個位置上和不動沒有什么區(qū)別。中國古代的名家惠施也提出過，"飛鳥之景，未嘗動也"的類似說法。</h3><h3>飛矢悖論是從時間的可分為出發(fā)點的,但是他沒有意識到時間的連續(xù)性,時間的不可分性,也即是時間不可分割;如果時間可分那就有沒有時間的瞬間,也就存在所謂的長生不老等情況了;所以箭在某一位置時按時間段(瞬間)來說是一致的,即靜止;但是,箭在任何一個位置時,時間是不一樣的。 </h3><h3>18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的、直觀的，強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學分析建立在實數(shù)理論的嚴格基礎(chǔ)之上。第二次數(shù)學危機也促進了19世紀的分析嚴格化、代數(shù)抽象化以及幾何非歐化的進程。</h3><h3>7.5 吳欣妍</h3> <h3>第二次數(shù)學危機讀后感:</h3><h3>第二次數(shù)學危機爆發(fā)</h3><h3>在微積分大范圍應(yīng)用的同時，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴重。關(guān)鍵問題就是無窮小量究競是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數(shù)學危機。</h3><h3>無窮小量究竟是不是零?兩種答案都會導(dǎo)致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋:1669年說它是一種常量;1671年又說它是一個趨于零的變量;1676年它被"兩個正在消逝的量的最終比"所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。</h3><h3>英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)(導(dǎo)數(shù))"是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。"他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，"是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結(jié)果"。貝克萊雖然也抓住了當時微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學的追求和探索。</h3><h3>當時一些數(shù)學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說:"微積分是巧妙的謬論的匯集。"在那個勇于創(chuàng)造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象。</h3><h3>18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的、直觀的，強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是:沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚;無窮大概念不清楚;發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等;符號的不嚴格使用;不考慮連續(xù)性就進行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。</h3><h3>這次危機不但沒有阻礙微積分的迅猛發(fā)展和廣泛應(yīng)用，反而讓微積分馳騁在各個科技領(lǐng)域，解決了大量的物理問題、天文問題、數(shù)學問題，大大推進了工業(yè)革命的發(fā)展。就微積分自身而言，經(jīng)過本次危機的"洗禮"，其自身得到了不斷的系統(tǒng)化，完整化，擴展出了不同的分支，成為了18世紀數(shù)學世界的"霸主"。</h3><h3>七年五班 宮瑞陽</h3> <h3>第二次數(shù)學危機，指發(fā)生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎(chǔ)定義展開的一場爭論，這場危機最終完善了微積分的定義和與實數(shù)相關(guān)的理論系統(tǒng)，同時基本解決了第一次數(shù)學危機的關(guān)于無窮計算的連續(xù)性的問題，并且將微積分的應(yīng)用推向了所有與數(shù)學相關(guān)的學科中。由此我們能夠得知，每個精準知識與思想的背后，都需要不斷的研究，思考，完成后還要想辦法推導(dǎo)或推翻，才能得到最終的正確答案。</h3><h3> 金祉含</h3> <h3>無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導(dǎo)致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。當時一些數(shù)學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集?！痹谀莻€勇于創(chuàng)造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象。18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的、直觀的，強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續(xù)性就進行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。</h3><h3> 7.5張靖敏</h3> <h3>第二次數(shù)學危機發(fā)生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學危機。其實我翻了一下有關(guān)數(shù)學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？</h3><h3>直到19世紀，柯西詳細而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論?？挛髡J為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發(fā)生矛盾。無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創(chuàng)立了 極限理論，加上實數(shù)理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數(shù)學危機基本解決。</h3><h3>而我自己的理解是一個無窮小量，是不是零要看它是運動的還是靜止的，如果是靜止的，我們當然認為它可以看為零；如果是運動的，比如說1/n，我們說 ，但n個1/n相乘就為1，這就不是無窮小量了，當我們遇到 等情況時，我們可以用洛比達法則反復(fù)求導(dǎo)來考查極限，也可以用Taylor展式展開后，一階一階的比，我們總會在有限階比出大小。</h3><h3> 18世紀，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分數(shù)學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ):無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬的。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，導(dǎo)致了數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機。</h3><h3> 馬琳智</h3> <h3>看了這么多資料，那么悖論到底是什么呢？第二次數(shù)學危機又從何而來呢？下面我來介紹一下。</h3> <h3>悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結(jié)論，而這兩個結(jié)論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A。悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內(nèi)容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內(nèi)容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結(jié)構(gòu)、邏輯結(jié)構(gòu)的不對稱。悖論根源于知性認識、知性邏輯（傳統(tǒng)邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產(chǎn)生悖論的根本原因是把傳統(tǒng)邏輯形式化、把形式邏輯普適性絕對化，即把形式邏輯當做思維方式。所有悖論都是因形式邏輯思維方式產(chǎn)生，形式邏輯思維方式發(fā)現(xiàn)不了、解釋不了、解決不了的邏輯錯誤。所謂解悖，就是運用對稱邏輯思維方式發(fā)現(xiàn)、糾正悖論中的邏輯錯誤。</h3> <h3>第二次數(shù)學危機，指發(fā)生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎(chǔ)定義展開的一場爭論，這場危機最終完善了微積分的定義和與實數(shù)相關(guān)的理論系統(tǒng)，同時基本解決了第一次數(shù)學危機的關(guān)于無窮計算的連續(xù)性的問題，并且將微積分的應(yīng)用推向了所有與數(shù)學相關(guān)的學科中。</h3> <h3>這些悖論中，阿喀琉斯與龜是最著名的，下面，我們就來通過一段視頻了解一下這個悖論吧*＾◎＾*</h3> <h3>怎么樣，看完了這段視頻，大家對悖論是不是了解得更深了呢？感興趣的同學課下也可以自己查一查有關(guān)這方面的知識^o^</h3> <h3>我們和老師一起研究悖論(*^@^*)</h3> <h3>通過這兩次社團，我們知道了前兩次數(shù)學危機的起因和結(jié)果，還了解了有關(guān)悖論和無理數(shù)的知識。數(shù)學的海洋無邊無際，這兩次社團只能讓我們看到其中的一滴微不足道的海水。希望通過豐富多彩的社團活動，可以激發(fā)同學們對數(shù)學的學科興趣~@^_^@~數(shù)學，其實并不枯燥喲^ω^</h3>