停課不停學(xué) 隔空不隔愛(ài)

馬敏

<h1 style="text-align: left;">硬幣趣味數(shù)學(xué)游戲：3個(gè)超好玩的硬幣游戲——簡(jiǎn)單易學(xué)，知識(shí)娛樂(lè)兩不誤！</h1>        硬幣游戲既能學(xué)習(xí)知識(shí)，又能娛樂(lè)身心，今天這篇文章就給同學(xué)們帶來(lái)幾個(gè)硬幣趣味數(shù)學(xué)游戲：超好玩的硬幣游戲——簡(jiǎn)單易學(xué)，知識(shí)與娛樂(lè)兩不誤。        游戲適合年級(jí)：各個(gè)年級(jí)        游戲難度：初級(jí)        1.尼姆游戲 　　在所有二人游戲中，最古老最有魅力的就是這個(gè)尼姆游戲了。據(jù)說(shuō)它發(fā)源于中國(guó)，有時(shí)候孩子們用紙片玩，但通常人們出門可能很少帶紙片，所以我們用硬幣玩。         這個(gè)游戲最流行的版本是用 12 枚硬幣擺成三行。        游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，游戲雙方輪流取 1 枚或多枚硬幣（只能在同一行），誰(shuí)拿到最后一枚就算贏。留心的朋友玩幾把就可以琢磨出，只要在自己的某一個(gè)回合里留下兩行多于 1 枚且數(shù)量相同的硬幣，就能確保獲勝。一個(gè)優(yōu)勢(shì)策略是，先手的人一開始就拿掉最上面一行 2 枚硬幣，這樣的話，離勝利就不遠(yuǎn)了。       有趣的是，有人發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擴(kuò)展到任意多行，每行有任意枚硬幣時(shí)，利用二進(jìn)制，可以把這個(gè)游戲玩得風(fēng)生水起。哈佛大學(xué)的數(shù)學(xué)教授布頓在 1901 年首次發(fā)表了論文詳述了這個(gè)問(wèn)題，也正是他，正式將這個(gè)游戲命名為尼姆游戲。       把玩家每一步操作之后的游戲局面叫做“棋局”。在布頓的論文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保證自己獲勝，那就是“安全的”，否則就是“不安全的”。每個(gè)不安全棋局都可以一步正確的操作變成安全的，而如果沒(méi)有正確地操作，一個(gè)安全的棋局就會(huì)變成不安全的。        如何判定一個(gè)棋局是安全的還是不安全的呢？這就用到了前面提到的二進(jìn)制。將每一行的硬幣數(shù)都用二進(jìn)制表示，按矩陣元素的排列方式對(duì)齊，這時(shí)候如果每一列的數(shù)（ 0 或 1 ）相加都為偶數(shù)（包括 0 ），那么這個(gè)棋局就是安全的，只要有一列元素相加不為偶數(shù)，那這個(gè)棋局就是不安全的。        回到我們上面說(shuō)的那個(gè)流行版本上，可以看到在初始狀態(tài)，它的二進(jìn)制表示如下圖：        可以看到，第 2 列之和為奇數(shù)，所以這個(gè)本版的初始狀態(tài)是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬幣，第 1 行就變成了 1 ，從而留下了一個(gè)安全棋局。通過(guò)用其他方法試驗(yàn)，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬幣是留下安全棋局的唯一操作。        把棋局轉(zhuǎn)化成上面這個(gè)二進(jìn)制表格，根據(jù)表格決定怎么操作就不會(huì)出錯(cuò)了。但是在玩的時(shí)候，恐怕對(duì)手沒(méi)那么寬容，讓你不斷畫表格，在腦子中計(jì)算，一不小心就出錯(cuò)。那么記住下面這條就很有用了：在兩行里留下同樣多的硬幣，總能贏。在此之后，讓每行硬幣數(shù)量保持相等就可以了。        尼姆游戲深受數(shù)學(xué)家喜愛(ài)并被廣泛研究，它因此產(chǎn)生了很多變體。1910 年美國(guó)數(shù)學(xué)家穆爾就提出了一個(gè)，它規(guī)則與尼姆游戲相同，只不過(guò)玩家可以從不超過(guò)指定數(shù) k 的任意多行里拿掉硬幣。有趣的是，它同樣可以通過(guò)二進(jìn)制來(lái)分析，只要把安全棋局定義為：二進(jìn)制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。 2.后選擇一定贏的硬幣游戲       對(duì)于粗心大意和無(wú)知的人來(lái)說(shuō)，這個(gè)游戲就是一個(gè)十足的陷阱。讓我們來(lái)看看這個(gè)它是怎么玩的。      拋三次硬幣看最后哪一面朝上，結(jié)果無(wú)非只有這 8 種：  正正正正正反正反正反正正正反反反正反反反正反反反        這個(gè)游戲的規(guī)則是，對(duì)手有優(yōu)先選擇權(quán)。首先對(duì)手在這 8 種組合中選一種作為他的組合，然后你選一組作為自己的組合。雙方選定后，隨便選一個(gè)人來(lái)連續(xù)拋硬幣，直到他的或你的組合出現(xiàn)為止，誰(shuí)的組合先出現(xiàn)誰(shuí)就算贏。        這個(gè)游戲看上去沒(méi)有什么問(wèn)題，不管哪種組合，它們出現(xiàn)的概率都是一樣的。但如果誰(shuí)真這么想，那他可就輸定了。事實(shí)上，先選的人一定會(huì)被針對(duì)。無(wú)論對(duì)手選擇選擇哪個(gè)組合，后選的人都可以選一個(gè)組合來(lái)針對(duì)他，使自己的獲勝概率至少提高到 2／3 !       如果你不相信的話，就讓我們選一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)分析看看。假設(shè)對(duì)手選擇的是“正正正”的組合，這時(shí)候我們只要選擇“反正正”，勝率就可以瞬間到達(dá) 7／8。這是為什么呢？       如果前三次就拋出了“正正正”的結(jié)果，那對(duì)手就獲勝了，這種情況發(fā)生的概率為 1／8 。但除此之外，只要最開始的三次對(duì)手沒(méi)有獲勝，那么我可以說(shuō)，他已經(jīng)沒(méi)有獲勝的機(jī)會(huì)了。因?yàn)榍叭螞](méi)有獲勝，就說(shuō)明在他獲勝之前一定出現(xiàn)了反面，那第一次出現(xiàn)“正正正”的情況必然包含在如下的結(jié)果中：……反正正正……       可以看到，當(dāng)出現(xiàn)“反正正”的時(shí)候，他已經(jīng)沒(méi)有辦法再玩下去了，因?yàn)槟钦俏覀冞x擇的組合，到這里我們已經(jīng)獲勝了。對(duì)于其他組合，這里不再專門討論了，下面附出一張表格，給出了后選擇的人采用正確策略的獲勝概率，可以看到，后選擇的人獲勝的最低概率也是 2／3 。       你是否覺(jué)得這個(gè)結(jié)果有些出乎意料？需要說(shuō)明的是，在涉及到概率時(shí)，我們的直覺(jué)很多時(shí)候都是錯(cuò)誤的。如果你不相信，來(lái)看看死理性派的不要相信直覺(jué)！那些概率統(tǒng)計(jì)的奇妙結(jié)論是如何顛覆你對(duì)世界的認(rèn)識(shí)的吧。　3.硬幣正反不一樣       通常我們所說(shuō)的硬幣，都是理想硬幣。但由于設(shè)計(jì)的原因，硬幣正反面的花紋并不一樣，這就導(dǎo)致了它的實(shí)際重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以擲硬幣時(shí)，正反面出現(xiàn)的概率也會(huì)有所偏差，想要知道這個(gè)偏差具體有多大，難度頗大。幸好花紋導(dǎo)致的概率偏差非常非常小，可以忽略不計(jì)。       盡管如此，但萬(wàn)一就遇到了一個(gè)死較真的和你玩拋硬幣，我們能不能找到一個(gè)方法，讓真實(shí)的硬幣達(dá)到理想硬幣的效果呢？       答案是能。我們可以用下面這種玩法“化腐朽為神奇”：連續(xù)擲兩次硬幣，如果兩次結(jié)果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再連續(xù)擲兩次硬幣，直到結(jié)果不同為止（一次反面朝上，一次正面朝上）。這時(shí)， [正,反] 的結(jié)果就可以對(duì)應(yīng)擲理想硬幣結(jié)果為正的情形， [反,正] 的結(jié)果就可以對(duì)應(yīng)理想硬幣為反的情形（反過(guò)來(lái)也可以）。       這是為什么呢？假設(shè)硬幣擲出正面的概率是 p ，那擲出 [正,反] 的概率為 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率為（1 - p）p。二者相等，所以采取這種方法，即便是一枚非理想硬幣，游戲結(jié)果也會(huì)變成完全公平的。 數(shù)學(xué)小課堂：概率，硬幣游戲        硬幣游戲基本上都是基于概率而設(shè)定的，在玩硬幣游戲的同時(shí)能夠?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)概率知識(shí)，同時(shí)通過(guò)游戲還能提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性。