撰文/官渡之戰(zhàn)<div>圖片/部分來(lái)自網(wǎng)絡(luò)</div> <p class="ql-block">柏拉圖是古希臘著名哲學(xué)家，曾師從大名鼎鼎的蘇格拉底，柏的弟子中則有名聲赫赫的亞里士多德，三人被譽(yù)為“希臘三賢”。</p> 其實(shí)，“柏柆圖”不是真名，借用當(dāng)下的流行語(yǔ)來(lái)說(shuō)叫做“昵稱(chēng)”，他的真名叫“亞里斯多克勒斯”?！鞍貣瑘D”在希臘語(yǔ)中意為“強(qiáng)壯”，這位先哲因身體強(qiáng)壯而被譽(yù)為“柏拉圖”，于是這一“昵稱(chēng)”便沿用了下來(lái)并蓋過(guò)本名，以致提到“柏拉圖”如雷貫耳，而“亞里斯多克勒斯”則鮮為人知。 <h3 style="text-align: center">柏拉圖</h3> <p class="ql-block">柏拉圖是西方客觀(guān)唯心主義創(chuàng)始人，其哲學(xué)體系博大精深。常為后人推崇的“精神戀愛(ài)”一說(shuō)，就是柏拉圖基于哲學(xué)思考提出的，他認(rèn)為“當(dāng)心靈摒絕肉體而向往著真理的時(shí)候才是最好的”。這種戀愛(ài)觀(guān)雖然并不現(xiàn)實(shí)，卻一直為人們津津樂(lè)道。流行于20世紀(jì)90年代末的“藍(lán)顏知己”，與“精神戀愛(ài)”有異曲同工之妙?！八{(lán)顏知己”是一種游離于親情、愛(ài)情、友情之外的第四類(lèi)情感，它可以在柏拉圖的“精神戀愛(ài)”中找到哲學(xué)詮釋。</p> 柏拉圖不僅是哲學(xué)家，還是數(shù)學(xué)家。古希臘時(shí)期，哲學(xué)與數(shù)學(xué)糾纏在一起，你中有我，我中有你，其時(shí)沒(méi)有什么學(xué)科比數(shù)學(xué)更能吸引哲學(xué)家的關(guān)注了。柏拉圖以哲學(xué)思維對(duì)數(shù)學(xué)作了解讀，他的這一學(xué)說(shuō)被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)哲學(xué)”或“柏拉圖主義”。 本文不討論“數(shù)學(xué)哲學(xué)”，僅說(shuō)說(shuō) “柏氏正多面體”。 公元前387年，柏拉圖喜歡上了幾何，并展開(kāi)了深入研究，他專(zhuān)門(mén)在柏拉圖學(xué)院門(mén)口立了一塊牌子，上面寫(xiě)道：“不懂幾何者，不得入內(nèi)”。柏拉圖發(fā)現(xiàn)正多面體有五種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體及正二十面體。這五種正多面體統(tǒng)稱(chēng)為“柏氏多面體”或“柏拉圖立體”。 多面體的形態(tài)可以有無(wú)數(shù)種，但正多面體只有上述五種。 柏拉圖雖然發(fā)現(xiàn)了五種正多面體，但卻無(wú)法對(duì)其原理給出證明，他說(shuō)：我參透了愛(ài)情，卻搞不懂正多面體為什么只有五種。 直到1750年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才給出了證明：如果一個(gè)凸多面體的面數(shù)是F、頂點(diǎn)數(shù)是V、棱數(shù)是E，那么它們之間總存在這樣的關(guān)系，即F+V-E=2。這就是著名的歐拉公式（歐拉公式共有四個(gè)，這是其中之一）。能滿(mǎn)足這種條件的多面體只有以上五種。 研究正多面體有何意義？它的意義不僅僅在于數(shù)學(xué)理論本身的要求，還可以為某些自然現(xiàn)象與社會(huì)生活提供數(shù)學(xué)解讀，讓人們了解這些現(xiàn)象的出現(xiàn)絕非偶然，它們都有一定的數(shù)學(xué)依據(jù)。 關(guān)于正四面體。 正四面體由四個(gè)等邊三角形構(gòu)成。如下圖： <h3 style="text-align: center">正四面體</h3> 正四面體在晶體中不乏有對(duì)應(yīng)形態(tài)的物質(zhì)。 固體有晶體、非晶體和準(zhǔn)晶體之分，晶體是其中一種。晶體最顯著的特征是結(jié)構(gòu)的規(guī)范性。晶體具有不受外界干擾而自然凝結(jié)成的規(guī)則外形，如甲烷、四氯化碳、白磷、金剛石等物質(zhì)都呈正四面體。 為什么上述物質(zhì)會(huì)以正四面體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)呢？這是由最小內(nèi)能決定的。具體地說(shuō)，特定結(jié)構(gòu)下的質(zhì)點(diǎn)有規(guī)律的排列，可以使各部分勢(shì)能處于最低。在一定的溫度和壓力條件下，晶體與成分相同的非晶體比較，具有最小內(nèi)能，從而使物質(zhì)結(jié)構(gòu)更為穩(wěn)定。這就是晶體形成的數(shù)理原理。 關(guān)于正六面體與正十二面體。 正六面體由六個(gè)正四邊形構(gòu)成，正六面體又稱(chēng)正方體。正十二面體由十二個(gè)正五邊形構(gòu)成。如下圖： <h3 style="text-align: center">正六面體與正十二面體</h3> 說(shuō)到這兩種結(jié)構(gòu)，我想到了魔方。魔方有正六面體魔方與正十二面體魔方之分，正十二體魔方又稱(chēng)“五魔方”。 正方體魔方中有二階至九階魔方。二階魔方每個(gè)面有2?2個(gè)色塊，三階魔方每個(gè)面有3?3個(gè)色塊。余此類(lèi)推。 <h3 style="text-align: center">左圖為二階魔方，右圖為三階魔方</h3> 五魔方呈十二面體，總共有12個(gè)中心塊，20個(gè)角塊和30個(gè)邊塊。五魔方有兩種，一種是六色五魔方，另一種是十二色五魔方。 <h3 style="text-align: center">左圖為六色五魔方，右圖為十二色五魔方</h3> 魔方的玩法是通過(guò)旋轉(zhuǎn)將顏色打亂再進(jìn)行復(fù)原。五魔方復(fù)原的難度系數(shù)比三階魔方更高。魔方復(fù)原比賽是世界魔方協(xié)會(huì)承認(rèn)的比賽項(xiàng)目，比賽常用的是三階魔方。 另外，正十二面體形狀典雅美觀(guān)，常成為工藝品的優(yōu)選造型。 一年有十二個(gè)月，取正十二面體造型制成的月歷是種不錯(cuò)的選擇，它既有藝術(shù)性，又具實(shí)用性，頗有收藏價(jià)值。如下圖： 將十二生肖刻在十二面上，也很有趣。如下圖： 關(guān)于正八面體。 正八面體由八個(gè)等邊三角形構(gòu)成。 談到正八面體，不妨說(shuō)說(shuō)埃及金字塔。屹立在尼羅河畔的金字塔舉世聞名，在埃及沒(méi)有什么景點(diǎn)比它更具震撼力了，人們?cè)隗@嘆其壯觀(guān)之余，對(duì)它亦懷有某種莫名的敬畏。 <h3 style="text-align: center">金字塔</h3> <p class="ql-block">金字塔至今仍有許多未解之謎，譬如，它的結(jié)構(gòu)究竟是怎樣的，還是一個(gè)謎。表面上看，金字塔呈四棱錐結(jié)構(gòu)，它的全貌真是這樣嗎？據(jù)有關(guān)資料披露，金字塔整體呈正八面體，處于地面以上的只是它的一半，另一半在地下。據(jù)說(shuō)這是由遙感技術(shù)探測(cè)到的，真是“神龍見(jiàn)首不見(jiàn)尾”。當(dāng)然，這只是一家之言。本文畢竟不是數(shù)學(xué)論文，對(duì)此不作考證，姑且信之。</p> <p class="ql-block">不論金字塔的結(jié)構(gòu)是四棱錐還是正八面體，從幾何角度看，由三角形構(gòu)成的立體，最具穩(wěn)固性，難怪金字塔屹立千年而不坍塌，原來(lái)這里有幾何原理作支撐。</p> 關(guān)于正二十面體。 <p class="ql-block">足球是一項(xiàng)風(fēng)靡世界的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，談球是眾多足球迷的愛(ài)好。筆者對(duì)此疏于了解，但在撰寫(xiě)本文時(shí)居然心血來(lái)潮，也想談球，當(dāng)然不是談球賽，而是談足球與正二十面體的關(guān)聯(lián)。</p> 足球與正二十面體似乎“風(fēng)牛馬不相及”，其實(shí)從幾何角度說(shuō)還是有些關(guān)聯(lián)的，足球的結(jié)構(gòu)是正二十面體的變形。 正二十面體由二十個(gè)等邊三角形構(gòu)成，有二十個(gè)面、十二個(gè)頂點(diǎn)、三十條棱。如下圖： <h3 style="text-align: center">正二十面體</h3> 如果在每條棱上找到三等分的點(diǎn)，給靠近各頂點(diǎn)的等分點(diǎn)畫(huà)連線(xiàn)，沿連線(xiàn)切掉十二個(gè)頂角，得到的幾何體既有正五邊形又有正六邊形，該結(jié)構(gòu)即是變形了的足球結(jié)構(gòu)。向它充入氣體，即可得到足球。 世間的許多事物，都能用數(shù)學(xué)給予解讀，其實(shí)，這些解讀只是對(duì)隱藏在其后的數(shù)學(xué)原理的認(rèn)知。