<p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);"> 數(shù)學及微積分也是詩和遠方——只要你喜歡。</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);"> ～～～～～～～～</b></p> <p class="ql-block"> 我們是60多年前在天津鐵路一中（現(xiàn)在改稱為扶輪中學）一起讀書的老同學。<span style="font-size:18px;">六十年來我們</span>一直保持聯(lián)系?，F(xiàn)在我們有一個微信群。 每天經(jīng)常問候交流，有時還展示自己的一些活動：旅游，繪畫、詩作等互相交流。覺得還有老同學在一起陪伴，有一種存在感。也是心中的一份滿足。</p><p class="ql-block"> 近日我們聊起了數(shù)學微積分的話題。萬仞山和老同學聊得有來道趣。其中一位是高中時的數(shù)學課代表爾圖，另一位是幾何課代表Mj（程）<span style="font-size:18px;">。這兩位老同學從上學起就對數(shù)學有濃厚的興趣。</span>機敏的頭腦，清晰的思維，求證難題的堅持，樂于助人的耐心，給我們留下美好回憶。排列組合、多項式、解析幾何等，老師講完課后，經(jīng)常是課代表再負責幫助不明白的同學繼續(xù)理解。他們非常熱心，同學們也很相信他們?；突W，團結(jié)有愛的學習氣氛十分濃厚，場景至今記憶猶新。</p><p class="ql-block"> 幾十年后的今天，我們依然保持聯(lián)系。今天在群中聊起數(shù)學話題，自然是興趣十足啊。</p><p class="ql-block"> 萬仞蘭天記2026.01.24</p><p class="ql-block"> ～～～～～～～</p> <p class="ql-block">這是我們的母?！鲚喼袑W。我們的數(shù)學愛好從這里升騰</p><p class="ql-block">（世界數(shù)學大師陳省身曾經(jīng)在這所學校學習）</p> <p class="ql-block">60多年前的老同學今猶在</p><p class="ql-block">2025年4月7日北寧公園門口留念</p> <p class="ql-block">老同學關(guān)于數(shù)學的聊天開始了……</p> <p class="ql-block">1月12日萬仞山發(fā)了一個視頻號“萬物皆數(shù)學”（插圖來自網(wǎng)絡(luò)）</p> <p class="ql-block">（插圖來自網(wǎng)絡(luò)）</p> <p class="ql-block">數(shù)學被稱為上帝的語言?？梢哉f，萬物皆數(shù)學。</p><p class="ql-block">醫(yī)學的底層是生理學。</p><p class="ql-block">生理學的底層是化學。</p><p class="ql-block">化學的底層是物理。</p><p class="ql-block">物理的底層是數(shù)學。</p><p class="ql-block">數(shù)學沒有底層。</p><p class="ql-block"> 數(shù)學是一切科學的基礎(chǔ)，甚至可以說萬物皆數(shù)學。（摘錄）</p> <p class="ql-block">萬仞山：Mj（程）有空兒看看這篇文章，合你意否？愿聞其詳。</p> <p class="ql-block">Mj（程）回復：</p><p class="ql-block">作者知識面夠?qū)挕２贿^把數(shù)與數(shù)學，形與數(shù)，物理與數(shù)學，各學科與數(shù)學，學識與天賦與后天努力，數(shù)學與美，函數(shù)與圖像，數(shù)學與模型原型，甚至世界本原及宗教等多方向，多角度的問題放在一起探討，好像……。</p><p class="ql-block">數(shù)學也不萬能，今天智能科學的發(fā)展說明了一切，起碼目前為止應該這樣認識。但反過來，智能又嚴重依賴算法，華為近年實質(zhì)上是用先進算法克服芯片弱項。</p><p class="ql-block">數(shù)學和各學科之間是相互促進，相互影響的關(guān)系。非歐幾何是數(shù)學領(lǐng)先，微積分則是先有彈道計算和加速度實踐需求，楊振寧與陳省身則是同時珠聯(lián)璧合。</p><p class="ql-block">萬仞山回復：</p><p class="ql-block">接著上午的話題再說兩句：</p><p class="ql-block">你學的是數(shù)學，教過教學，還搞了工程設(shè)計，計算數(shù)學和應用數(shù)學都有很強的基礎(chǔ)，而且一直沒有離開這個專業(yè)，厲害呀。[強][強][強]</p><p class="ql-block"> 我學的是電子技術(shù)。后來又專門上了幾年（業(yè)余）計算數(shù)學。數(shù)值逼近、數(shù)學物理方法等都學到了。可是以后沒有干本專業(yè)，這些知識在工作中很少用，幾乎忘的差不多了。</p><p class="ql-block"> ～～～～～～～～</p> <p class="ql-block"><span style="font-size:18px;">1月23日</span>萬仞山發(fā)一段文章，與喜歡數(shù)學的老同學分享。</p> <p class="ql-block">爾圖回復：</p><p class="ql-block">試想：若把圓⊙從圓心分割，分別得到1，2，3，4，……個扇形，一直分下去，分到N，N為無限+??時，就是⊙的面積。變量到常量，反之亦然。</p> <p class="ql-block">萬仞山回復@爾圖?：</p><p class="ql-block">你分析的太棒了，點贊。</p><p class="ql-block">這是正確的思路。這是從高中數(shù)學跨到高等數(shù)學的一個重要思維轉(zhuǎn)變和接受。[強][強][強]</p> <p class="ql-block">萬仞山回復： </p><p class="ql-block"> 定積分求園面積</p><p class="ql-block"> 長（y 園半徑）×寬（x 園周長分割成無限?。介L方形面積（無限小的長方形面積）。</p><p class="ql-block"> 當對無限多的小長方形面積進行積分時，就是園面積的近似值。當寬x趨于無限小時（此時函數(shù)在每一點都連續(xù)，即極限存在），即是∫?? f(x) dx＝πr2。 這是定積分的幾何解釋。當然還有物理解釋。</p><p class="ql-block"> 以上所說是高等數(shù)學的入門知識，是最基本的門檻。</p><p class="ql-block"> 這里有幾個基本概念：無窮小、無限逼近、函數(shù)的連續(xù)性、極限等。這樣就可以由常量探究走到變量研究。因為常量是變量的特例。</p><p class="ql-block"> 數(shù)學從中學過渡到大學有一個明顯臺階也是門檻，就是極限的概念。無論學文科還是理科，高數(shù)的第一本書是都要學的。極限的概念時常會成為前進的障礙。</p> <p class="ql-block">爾圖回復@萬仞山：</p><p class="ql-block">?你對定積分求圓面積描述的太精準了，分毫不差，沒有可補充的了！[強][強][強]</p> <p class="ql-block">定積分求圓面積的物理意義：</p><p class="ql-block">無限細分”與“累積求和”?：將圓分割成無數(shù)個無限窄的扇形，每個小部分的面積近似為規(guī)則圖形，如三角形或矩形，再將所有這些微小面積“累積”起來，就得到了總面積。這是微積分“化曲為直”和“積零為整”? 的思想。</p><p class="ql-block">面積本身是一個幾何量，通過定積分定義，被賦予物理過程的含義。在物理學中，?功、能量、質(zhì)量?等許多物理量的計算，本質(zhì)上都是對某個“密度”（如力、能量密度、質(zhì)量密度）沿空間或時間進行“累積求和”的過程，這與定積分求面積的邏輯完全一致。</p> <p class="ql-block">爾圖：</p><p class="ql-block">忽然覺得人生修行又何嘗不是這樣？</p> <p class="ql-block">萬仞山：</p><p class="ql-block">完成一個任務，需要把它分解成許多的小環(huán)節(jié)，然后把這些環(huán)節(jié)串接在一起，這樣整個任務就可以圓滿完成了。</p><p class="ql-block"> 這里應該有數(shù)學思維?——無限細分與累積求和的思維。</p><p class="ql-block"> ～～～～～～～</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);"> 熱愛數(shù)學吧，它會讓你年輕快樂。熱愛微積分吧，它讓你在更廣闊的領(lǐng)域里叱咤飛翔。</b></p>