<p class="ql-block">初二幾何題詳解：∠C=20°（截長法+補短法雙解）</p><p class="ql-block">先給結論：∠C=20°。下面用兩種經(jīng)典方法一步步講透，幫你輕松給孩子講明白。</p><p class="ql-block">一、截長法（推薦，步驟更直觀）</p><p class="ql-block">已知條件：△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，AB+BD=CD。</p><p class="ql-block">步驟1：構造輔助線</p><p class="ql-block">在CD上截取點E，使DE=BD，連接AE。</p><p class="ql-block">因為AD⊥BC且DE=BD，所以AD是BE的垂直平分線。</p><p class="ql-block">根據(jù)“垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”，得AB=AE，△ABE是等腰三角形，故∠B=∠AEB。</p><p class="ql-block">步驟2：轉化線段關系</p><p class="ql-block">已知AB+BD=CD，又CD=DE+EC，且DE=BD，代入得：</p><p class="ql-block">AB+BD=BD+EC → AB=EC。</p><p class="ql-block">又因AB=AE，故AE=EC，△AEC是等腰三角形，得∠EAC=∠C。</p><p class="ql-block">步驟3：用外角定理建角度關系</p><p class="ql-block">∠AEB是△AEC的外角，根據(jù)“三角形外角等于不相鄰兩內角和”：</p><p class="ql-block">∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C。</p><p class="ql-block">又∠B=∠AEB，故∠B=2∠C。</p><p class="ql-block">步驟4：用內角和求解</p><p class="ql-block">△ABC內角和180°，∠BAC=120°，故∠B+∠C=60°。</p><p class="ql-block">代入∠B=2∠C，得2∠C+∠C=60° → 3∠C=60° → ∠C=20°。</p><p class="ql-block">二、補短法（另一種思路，拓展思維）</p><p class="ql-block">步驟1：構造輔助線</p><p class="ql-block">延長DB到點F，使BF=AB，連接AF。</p><p class="ql-block">此時DF=DB+BF=DB+AB，由已知AB+BD=CD，得DF=CD。</p><p class="ql-block">因AD⊥BC，故AD是CF的垂直平分線，得AF=AC，△AFC是等腰三角形，∠F=∠C。</p><p class="ql-block">步驟2：分析等腰三角形角度</p><p class="ql-block">BF=AB，故△ABF是等腰三角形，∠F=∠BAF。</p><p class="ql-block">∠ABC是△ABF的外角，故∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F=2∠C。</p><p class="ql-block">步驟3：求解角度</p><p class="ql-block">同截長法，∠B+∠C=60°，代入∠B=2∠C，得∠C=20°。</p><p class="ql-block">關鍵思路總結</p><p class="ql-block">1. 截長補短法：遇到“線段和差”（如AB+BD=CD），優(yōu)先考慮截長或補短構造線段相等，轉化為等腰三角形問題。</p><p class="ql-block">2. 垂直平分線性質：AD⊥BC且截/補后線段相等，可推出等腰三角形，實現(xiàn)邊與角的轉化。</p><p class="ql-block">3. 外角定理：連接等腰三角形與整體角度關系，建立方程求解。</p><p class="ql-block">? 最終答案：∠C=20°</p>