<p class="ql-block">1.我讀初中的時候，三角函數(shù)和對數(shù)都只能查數(shù)學用表。我問老師：數(shù)學用表怎么算出來？老師回答：你就不管它怎么編出來，你只要會查表就行了。我不能再問，但自己暗想：我可以查表，編表的人又查上一個表?？偛荒艽蠹叶汲瓌e人的表，第一個編表的人是怎樣編出來讓以后的人查的？ 后來終于看見一份表后面列出了計算公式 sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-…, 當然，其中的x是弧度而不是角度。我同時也知道了弧度比角度更自然，更重要：角度是“我們規(guī)定”的，弧度是大自然規(guī)定的。</p><p class="ql-block">2.舉例子只是提出問題，讓學生體會這個問題需要解決，大有必要。但是，怎么解決？不可能由師生們自己“探究”出解決方案，只能由以前的舊知識解決新提出的問題。對于多項式，泰勒展開用初中知識就夠了。對于分式、根式，用無窮遞縮等比數(shù)列求和就夠。對于指數(shù)對數(shù)三角函數(shù)，用到導數(shù)。</p><p class="ql-block">3.泰勒展開的必要性，一句話就夠了：怎么計算開方、對數(shù)、三角函數(shù)。你會說按計算器，查表。問題是：設(shè)計計算器、編織數(shù)學用表的人怎么算出來的？一句話：所有的數(shù)學運算都只能用加減乘除實現(xiàn)。泰勒展開就是把開方、求指數(shù)函數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)全都通過泰勒展開變成加減乘除來算。</p><p class="ql-block">4.我的微積分詩四首，第一首講微分：“凌波能信步，苦海豈無邊。函數(shù)千千萬萬，一次最簡單。 ”函數(shù)千千萬萬，太復雜難以掌握。但每一小步都可以看成勻速運動，是時間的一次函數(shù)，就變簡單了。微分就是把復雜運動在短時間看成一次函數(shù)，這就變簡單了。一次函數(shù)的增量就是微分，一次項系數(shù)就是導數(shù)。</p><p class="ql-block">5.第二首泰勒展開：“漫天休問價，就地可還錢。我有乘除加減，翱翔天地間。”漫天休問價是說任意函數(shù)太復雜，難研究。就地還錢是把它看成一次函數(shù)，只研究一次項系數(shù)，就是導數(shù)。但這又太簡單粗糙不夠用。那就從就地還錢往上漲一些，比漫天要價降一點，取折衷， 用多項式來研究，比一次函數(shù)復雜一些，但比任意函數(shù)簡單，就是泰勒展開。可長可短，適用于不同精確度，翱翔天地間。</p><p class="ql-block">6.大學有個缺點：不講理由，先下定義，然后再應(yīng)用。微積分還好一點，導數(shù)講了理由，舉了例子：曲線斜率，瞬時速度。積分也有理由：變速運動的路程，變力做功。微積分基本定理，理由最精彩，卻講得太復雜，估計你們也沒印象。我在微積分詩四首第四首講原函數(shù)： 量天何必苦登高，借問銀河下九霄。直下飛流幾萬里，幾多里處宴蟠桃？ 前兩句講量天的高度不需要爬上天去量，天上的銀河往下流，你請它從上到下幫你量。銀河從天上直下九霄幾萬里，天的高度也就是從下往上幾萬里。定積分是已知各時刻的速度求總路程，很難計算。反過來，已知路程求速度卻容易求，求導就行了。現(xiàn)在你要反過來已知速度求路程，也可以反過來，求一個路程函數(shù)，它求導得出的速度函數(shù)與你的已知速度函數(shù)一樣，它的總路程就與你的路程一樣了。路程就是速度的原函數(shù)。但是，速度的原函數(shù)不是路程而是位置函數(shù)，位置函數(shù)的導數(shù)是導數(shù)。但這不要緊，先求原函數(shù)得到位置函數(shù)，然后末位置減初位置就是路程。</p><p class="ql-block">7.什么是函數(shù)f(x)在x=c的泰勒展開？就是以c為起點，記x-c為從c出發(fā)的增量，把f(x)寫成x-c的多項式或無窮級數(shù)f(x)=c0+c1(x-c)+c2(x-c)^2+…,則g(x)=c0+c1(x-c)就是與f(x)在x=c附近最接近的一次函數(shù)，誤差d(x)=c2(x-c)^2+…的至少二階的無窮小，也就是與曲線y=f(x)在點 (c,f(c))附近誤差最小的直線，叫做切線，一次項系數(shù)c1就是斜率，叫做導數(shù)。如果f(x)是x的多項式，令t=x-c，則x=c+t代入多項式f(x)= f(c+t)展開成t的多項式，再把t換回x-c就得到泰勒展開，一次項系數(shù)c1= f’(c) 就是導數(shù)。怎么由泰勒展開f(x)=c0+c1(x-c)+c2(x-c)^2+ … 求一次項系數(shù)c1？ 泰勒展開式兩邊取x=c得f(c)=c0, 得到常數(shù)項f(c). 為了求一次項系數(shù)c1，泰勒展開式減常數(shù)項c0再除以x-c得f(x)-f(c)再除以x-c得 [f(x)-f(c)]/(x-c)=c1+c2(x-c)+… 兩邊同時令x趨于c，右邊就是c1，左邊就是我們定義的導數(shù)。如果f(x)是多項式，先泰勒展開再取一次項系數(shù)c1作為導數(shù)。如果不是多項式，不知道怎么泰勒展開，就算左邊的極限作為導數(shù)，取它作泰勒展開的一次項系數(shù)c1。其實是用待定系數(shù)法先寫出泰勒展開式，各項系數(shù)c0,c1, … 待定. 再用極限依次算出各項系數(shù)。因此，可以先定義f(x)的泰勒展開為f(x)寫成x-c的多項式或無窮級數(shù)，系數(shù)待定。在秋季先得到各項系數(shù)，就是導數(shù)或高階導數(shù)。</p>